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中六數學 二項式定理：第 2 份（進階）
中六數學 二項式定理：第 2 份（進階）
十題加入負號、分式與未知 n，要求先寫通項再代入，並處理 (2x)² 這類要連同底數一併升次的項。
直接答案 第 1 至 3 題 40、−8、6；第 4 至 6 題 n = 10、792、270；第 7 至 9 題 −20、36、C(n, r) a^(n−r) b^r；第 10 題 54。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 二項式定理 |
| 適用年級 | 進階 |
02 題目（10 題）
- 基礎(1 + 2x)^5 展開後，x² 項前面的數字是多少？
- 基礎(2 − x)^4 展開後，x³ 項前面的數字是多少？
- 基礎(x + 1/x)^4 展開後的常數項是多少？
- 進階已知 (1 + x)^n 展開後 x² 項前面的數字是 45，求 n。
- 進階計算 C(12, 5)。
- 進階(3 + x)^5 展開後，x² 項前面的數字是多少？
- 挑戰(1 − x)^6 展開後，x³ 項前面的數字是多少？
- 挑戰(2x + 3)^3 展開後，x² 項前面的數字是多少？
- 挑戰寫出 (a + b)^n 的通項，並說明每個符號的意思。
- 錯題重練有學生求 (1 + 3x)^4 中 x² 項前面的數字時答 6。錯在哪裡？正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 40 | 通項 C(5, r) (2x)^r，取 r = 2 得 C(5, 2) × 2² = 10 × 4 = 40。 |
| 2 | −8 | 取 r = 3：C(4, 3) × 2 × (−1)³ = 4 × 2 × (−1) = −8，負號來自 −x。 |
| 3 | 6 | 通項 C(4, r) x^(4−r) x^(−r)，要 4 − 2r = 0 即 r = 2，得 C(4, 2) = 6。 |
| 4 | n = 10 | C(n, 2) = n(n − 1) ÷ 2 = 45，得 n(n − 1) = 90，故 n = 10。 |
| 5 | 792 | C(12, 5) = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 ÷ 120 = 792。 |
| 6 | 270 | 取 r = 2：C(5, 2) × 3³ = 10 × 27 = 270，底數 3 要升到 3 次方。 |
| 7 | −20 | 取 r = 3：C(6, 3) × (−1)³ = 20 × (−1) = −20。 |
| 8 | 36 | 取 r = 1：C(3, 1) × (2x)² × 3 = 3 × 4 × 3 = 36，記得 (2x)² 是 4x²。 |
| 9 | C(n, r) a^(n−r) b^r | r 由 0 數到 n，第 r + 1 項就是 C(n, r) a^(n−r) b^r；C(n, r) 是組合數。 |
| 10 | 漏了 3²；正確答案 54 | 通項 C(4, r) (3x)^r，r = 2 時要乘 3² = 9，故 6 × 9 = 54。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
先寫出通項 C(n, r) a^(n−r) b^r，再代 r 找指定次方。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。