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中六數學 二項式定理：第 3 份（挑戰）
中六數學 二項式定理：第 3 份（挑戰）
十題涉及分式底、反求參數、代入法求數字總和與比較各項大小，需自行整理 x 的總次方。
直接答案 第 1 至 3 題 120、60、240；第 4 至 6 題 a = 2、720、84；第 7 至 9 題 256、30、x^4 項 240；第 10 題 15。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 二項式定理 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎(1 + x)^10 展開後，x^7 項前面的數字是多少？
- 基礎(2 + x)^6 展開後，x^4 項前面的數字是多少？
- 基礎(x² + 2/x)^6 展開後的常數項是多少？
- 進階已知 (1 + ax)^5 中 x² 項前面的數字是 40，且 a > 0，求 a。
- 進階(3 + 2x)^5 展開後，x³ 項前面的數字是多少？
- 進階(1 − 2x)^7 展開後，x² 項前面的數字是多少？
- 挑戰(x + 3)^4 展開式中所有項前面的數字之和是多少？
- 挑戰(1 + x)^6 + (1 − x)^6 展開後，x² 項前面的數字是多少？
- 挑戰(1 + 2x)^6 展開式中，各項數字最大的是 x 的哪一次方？數字是多少？
- 錯題重練有學生把 C(6, 2) 算成 6 × 5 = 30。錯在哪裡？正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 120 | 取 r = 7：C(10, 7) = C(10, 3) = 120。 |
| 2 | 60 | 取 r = 4：C(6, 4) × 2² = 15 × 4 = 60。 |
| 3 | 240 | 通項 x 的次方為 12 − 3r，要等於 0 得 r = 4，故常數項為 C(6, 4) × 2^4 = 240。 |
| 4 | a = 2 | C(5, 2) a² = 10a² = 40，故 a² = 4，取正值得 a = 2。 |
| 5 | 720 | 取 r = 3：C(5, 3) × 3² × 2³ = 10 × 9 × 8 = 720。 |
| 6 | 84 | 取 r = 2：C(7, 2) × (−2)² = 21 × 4 = 84，平方後負號消失。 |
| 7 | 256 | 把 x = 1 代入原式得 4^4 = 256，比逐項相加快得多。 |
| 8 | 30 | (1 + x)^6 與 (1 − x)^6 的 x² 項都是 C(6, 2) = 15，相加得 30。 |
| 9 | x^4 項，240 | 各項數字為 C(6, r) 2^r，依次 1、12、60、160、240、192、64，最大為 r = 4 的 240。 |
| 10 | 排列要除以 2!；正確答案 15 | C(6, 2) 只計選法不計次序，要除以 2 × 1，故 30 ÷ 2 = 15；30 是 P(6, 2)。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
先寫出通項 C(n, r) a^(n−r) b^r，再代 r 找指定次方。導師登記 →
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。