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中六數學 向量與純量積：第 1 份（基礎）
中六數學 向量與純量積：第 1 份（基礎）
十題由向量長度與純量積的定義開始，再練加減、單位向量與垂直條件。
直接答案 第 1 至 3 題 5、13、0；第 4 至 6 題 45°、(7, 6) 與 9.2195、(−4, 11)；第 7 至 9 題 (0.6, 0.8)、−9、25；第 10 題 23。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 向量與純量積 |
| 適用年級 | 基礎 |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 a = (3, 4)，求 |a|。
- 基礎已知 a = (2, 5)、b = (4, 1)，求 a · b。
- 基礎已知 a = (6, −2)、b = (1, 3)，求 a · b，並判斷兩向量是否垂直。
- 進階已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)，求兩向量的夾角。
- 進階已知 a = (2, −1)、b = (5, 7)，求 a + b 及其長度（四位小數）。
- 進階已知 a = (1, 4)、b = (2, −1)，求 2a − 3b。
- 挑戰求與向量 (3, 4) 同方向的單位向量。
- 挑戰已知 a = (2, 3) 與 b = (k, 6) 互相垂直，求 k。
- 挑戰已知 a = (3, 4)，求 a · a，並寫出 a · a 與 |a| 的關聯。
- 錯題重練有學生把 (2, 3) · (4, 5) 寫成 (8, 15)。錯在哪裡？正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | |a| = 5 | |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5，長度必為非負數。 |
| 2 | a · b = 13 | 對應分量相乘再相加：2 × 4 + 5 × 1 = 8 + 5 = 13。 |
| 3 | a · b = 0，兩向量垂直 | 6 × 1 + (−2) × 3 = 6 − 6 = 0；純量積為 0 表示夾角 90°，即互相垂直。 |
| 4 | 45° | a · b = 5，|a| = √5、|b| = √10，cos θ = 5 ÷ √50 ≈ 0.7071，故 θ = 45°。 |
| 5 | a + b = (7, 6)，長度約 9.2195 | 分量相加得 (7, 6)，長度 √(49 + 36) = √85 ≈ 9.2195。 |
| 6 | (−4, 11) | 2a = (2, 8)、3b = (6, −3)，相減得 (−4, 11)；長度約 11.7047。 |
| 7 | (0.6, 0.8) | 除以長度 5 得 (3/5, 4/5) = (0.6, 0.8)，長度為 1。 |
| 8 | k = −9 | 垂直即 a · b = 0：2k + 18 = 0，故 k = −9。 |
| 9 | a · a = 25 = |a|² | a · a = 3² + 4² = 25，而 |a| = 5，故 a · a 等於 |a| 的平方。 |
| 10 | 純量積的結果是純量；正確答案 23 | 純量積要對應分量相乘後相加：8 + 15 = 23，結果是一個數而不是向量。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。