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中六數學 向量與純量積：第 2 份（進階）
中六數學 向量與純量積：第 2 份（進階）
本份集中夾角公式、純量投影與 |a + b| 的展開，並引入功的計算。
直接答案 第 1 至 3 題 45°、0 與 90°、3；第 4 至 6 題 6、60°、5；第 7 至 9 題 0、4、50 J；第 10 題 約 9.899 對 10。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 向量與純量積 |
| 適用年級 | 進階 |
02 題目（10 題）
- 基礎已知 a = (2, 1)、b = (1, 3)，求兩向量的夾角。
- 基礎已知 a = (−3, 4)、b = (4, 3)，求 a · b 及兩向量的夾角。
- 基礎已知 a = (3, 4)，求 a 在 x 軸方向上的純量投影。
- 進階已知 |a| = 3、|b| = 4，兩向量夾角 60°，求 a · b。
- 進階已知 a · b = 10、|a| = 5、|b| = 4，求兩向量的夾角。
- 進階已知 |a| = 3、|b| = 4，且 a 與 b 垂直，求 |a + b|。
- 挑戰已知 a = (1, 2)、b = (2, −1)，求 (a + b) · (a − b)。
- 挑戰已知 a = (k, 2) 與 b = (3, −6) 互相垂直，求 k。
- 挑戰力 F = (6, 8) N 作用於一件物件，物件位移 d = (3, 4) m，求所作的功。
- 錯題重練有學生認為 |a + b| 一定等於 |a| + |b|。以 a = (3, 4)、b = (4, 3) 檢驗，指出錯在哪裡。
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 45° | a · b = 5，|a| = √5、|b| = √10，cos θ = 5 ÷ √50 ≈ 0.7071，得 θ = 45°。 |
| 2 | a · b = 0，夾角 90° | (−3) × 4 + 4 × 3 = −12 + 12 = 0，故兩向量垂直，夾角 90°。 |
| 3 | 3 | 投影 = a · b ÷ |b|，取 b = (1, 0)，得 3 ÷ 1 = 3，正是 a 的 x 分量。 |
| 4 | a · b = 6 | a · b = |a||b| cos θ = 3 × 4 × 0.5 = 6。 |
| 5 | 60° | cos θ = 10 ÷ 20 = 0.5，故 θ = 60°。 |
| 6 | 5 | 垂直時純量積為 0，|a + b|² = 9 + 16 = 25，故 |a + b| = 5。 |
| 7 | 0 | (a + b) · (a − b) = |a|² − |b|² = 5 − 5 = 0，故兩者垂直。 |
| 8 | k = 4 | 3k − 12 = 0，故 k = 4；代回驗算 12 − 12 = 0。 |
| 9 | 50 J | 功 = F · d = 18 + 32 = 50，單位為焦耳。 |
| 10 | 不一定；此例 |a + b| ≈ 9.899 而 |a| + |b| = 10 | |a + b| = √98 ≈ 9.899，只有在兩向量同方向時才等於 |a| + |b|；其餘情況取等號會高估。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。