中六數學　向量與純量積：第 3 份（挑戰）

本份處理負純量積與鈍角、三角形內角、向量投影，並以 |a + b| 的展開反求未知量。

直接答案　第 1 至 3 題約 98.1°、約 81.9°、4 與 (4, 0)；第 4 至 6 題約 4.3589、5 與 58、0；第 7 至 9 題 −1 與 2.6458、−5、約 9.8995；第 10 題 cos θ = 0.96。

01　本卷資料（做完才看答案）

基礎已知 a = (2, −1)、b = (1, 3)，求兩向量的夾角（一位小數）。
基礎三角形 ABC 中 A(1, 1)、B(5, 4)、C(2, 7)，求角 ABC（一位小數）。
基礎已知 a = (4, 3)、b = (2, 0)，求 a 在 b 方向上的純量投影與向量投影。
進階已知 |a| = 2、|b| = 3、a · b = 3，求 |a + b|（四位小數）。
進階已知 a = (2, k) 與 b = (4, 10) 平行，求 k，並求 a · b。
進階已知 a = (5, 2)、b = (2, 5)，求 (a + b) · (a − b)，並說明 a + b 與 a − b 的相互位置。
挑戰已知 |a| = 2、|b| = 1，兩向量夾角 120°，求 a · b 與 |a − b|（四位小數）。
挑戰已知 a = (1, 2)、b = (3, −1)，求 t 使 a + t b 與 a 垂直。
挑戰已知 a = (6, 8)、b = (1, 1)，求 a 在 b 方向上的純量投影（四位小數）。
錯題重練有學生求 a = (3, 4) 與 b = (4, 3) 的夾角時，用 cos θ = a · b ÷ (|a| + |b|) = 24 ÷ 10 = 2.4。錯在哪裡？

題號	答案	一句解說
1	約 98.1°	a · b = 2 − 3 = −1，\|a\| = √5、\|b\| = √10，cos θ = −1 ÷ √50 ≈ −0.1414，故 θ ≈ 98.1°。
2	約 81.9°	BA = (−4, −3)、BC = (−3, 3)，純量積 3，cos θ = 3 ÷ (5 × 4.2426) ≈ 0.1414，故角 ABC ≈ 81.9°。
3	純量投影 4，向量投影 (4, 0)	純量投影 = a · b ÷ \|b\| = 8 ÷ 2 = 4；向量投影 = 4 個 b 方向的單位向量 = (4, 0)。
4	約 4.3589	\|a + b\|² = 4 + 9 + 2 × 3 = 19，故 \|a + b\| = √19 ≈ 4.3589。
5	k = 5，a · b = 58	平行時分量成比例：k ÷ 10 = 2 ÷ 4，故 k = 5；a · b = 8 + 50 = 58。
6	0，兩者垂直	(a + b) · (a − b) = \|a\|² − \|b\|² = 29 − 29 = 0，故 a + b 與 a − b 垂直，這是菱形對角線的性質。
7	a · b = −1，\|a − b\| ≈ 2.6458	a · b = 2 × 1 × cos 120° = −1；\|a − b\|² = 4 + 1 − 2(−1) = 7，故長度約 2.6458。
8	t = −5	(a + t b) · a = \|a\|² + t(a · b) = 5 + t(1) = 0，故 t = −5。
9	約 9.8995	a · b = 14，\|b\| = √2 ≈ 1.4142，投影 = 14 ÷ 1.4142 ≈ 9.8995。
10	分母應為 \|a\|\|b\|；cos θ = 0.96，θ ≈ 16.3°	cos θ = 24 ÷ 25 = 0.96，θ ≈ 16.26°；用長度之和作分母會得出大於 1 的值，而餘弦不可能超過 1。

本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。