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中六數學 向量與純量積：第 4 份（錯題重練）
中六數學 向量與純量積：第 4 份（錯題重練）
十題針對常見錯誤：把純量積當向量、長度寫成負數、符號處理、平行與垂直混淆、用分量之和作分母。
直接答案 第 1 至 3 題 23、10、11；第 4 至 6 題 0（垂直）、平行且 a · b = 26、√2 對 2；第 7 至 9 題 −1、180°、約 108.4°；第 10 題 (0.6, 0.8)。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 向量與純量積 |
| 適用年級 | 錯題重練 |
02 題目（10 題）
- 基礎求 (2, 3) · (4, 5)，並說明答案為何不是向量。
- 基礎求向量 (−6, 8) 的長度。
- 基礎求 (7, −2) · (3, 5)，並指出一個常見的符號錯誤。
- 進階判斷 a = (4, −3) 與 b = (9, 12) 是否垂直。
- 進階已知 a = (2, 3)、b = (4, 6)，問兩向量平行還是垂直？
- 進階比較 a = (1, 0)、b = (0, 1) 的 |a + b| 與 |a| + |b|。
- 挑戰已知 a = (8, 2) 與 b = (k, 4) 垂直，求 k。
- 挑戰求 a = (1, 2) 與 b = (−2, −4) 的夾角，並解釋答案。
- 挑戰已知 a = (1, 1)、b = (−2, 1)，求兩向量的夾角（一位小數）。
- 錯題重練有學生求 (3, 4) 的單位向量時寫成 (3/7, 4/7)。錯在哪裡？正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 23，純量積結果是純量 | 2 × 4 + 3 × 5 = 23；純量積把兩個向量對應分量相乘後相加，結果只是一個數。 |
| 2 | 10 | √(36 + 64) = √100 = 10；把分量直接相加得 2 是常見錯誤。 |
| 3 | 11 | 21 − 10 = 11；把 −2 × 5 寫成 +10 會得出 31。 |
| 4 | 垂直，因 a · b = 0 | 36 − 36 = 0，故兩向量垂直；兩者長度分別為 5 與 15，長度與垂直無關。 |
| 5 | 平行，a · b = 26 | b = 2a，故兩向量平行；純量積 8 + 18 = 26 不等於 0，所以不垂直。 |
| 6 | √2 ≈ 1.414 對 2 | |a + b| = √2 ≈ 1.4142，而 |a| + |b| = 2；只會在同方向時相等。 |
| 7 | k = −1 | 8k + 8 = 0，故 k = −1；代回得 −8 + 8 = 0。 |
| 8 | 180° | a · b = −10，|a| = √5、|b| = √20，cos θ = −10 ÷ 10 = −1，故 θ = 180°，兩向量方向相反。 |
| 9 | 約 108.4° | a · b = −1，cos θ = −1 ÷ √10 ≈ −0.3162，故 θ ≈ 108.4°；負值表示鈍角。 |
| 10 | 分母應為長度 5；正確答案 (0.6, 0.8) | 單位向量要除以長度 √(9 + 16) = 5，得 (0.6, 0.8)；用 3 + 4 = 7 作分母並無根據。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。