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中六物理：圓周運動與萬有引力 — 練習第二份（進階，10 題）
中六物理：圓周運動與萬有引力 — 練習第二份（進階，10 題）
第二份集中萬有引力與軌道：兩質量間的引力、由週期求軌道速率、由地面 g 求 GM、半徑與週期的關係，再計同步衛星的角速度與軌道半徑，解釋太空人為甚麼會失重，並由 GMm/r² = mv²/r 推導軌道速率。最後一題拆解「軌道越高越快」。
快速答案 兩質量引力約 8.34 × 10⁻¹⁰ N；7.0 × 10⁶ m 軌道週期 5800 s 得 7.6 km/s；GM = gR² ≈ 4.0 × 10¹⁴；半徑越大週期越長；同步衛星 ω ≈ 7.3 × 10⁻⁵ rad/s；軌道半徑約 4.2 × 10⁷ m；失重是沒有支持力；4 倍半徑得 8 倍週期；v = √(GM/r) ≈ 7.6 km/s；軌道越高速率越小。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 28 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六物理｜圓周運動與萬有引力：向心力、角速度與軌道週期 |
| 適用年級 | 中六 |
02 題目（10 題）
- 基礎兩個質量分別為 5 kg 與 10 kg 的物體相距 2 m。求它們之間的萬有引力。
- 基礎一個衛星在半徑 7.0 × 10⁶ m 的圓軌道上運行，週期 5.8 × 10³ s。求它的軌道速率。
- 基礎已知地面重力加速度 9.8 m/s²、地球半徑 6.4 × 10⁶ m。求地球的 GM 值。
- 基礎同樣繞地球運行，軌道半徑較大的衛星，週期較長還是較短？
- 進階地球同步衛星的週期是 24 小時。求它的角速度。
- 進階用 GM ≈ 4.0 × 10¹⁴ m³ s⁻² 估算地球同步衛星的軌道半徑。
- 進階太空站在軌道上運行的太空人為甚麼會「失重」？
- 挑戰某行星的軌道半徑是地球的 4 倍。它的公轉週期是地球的幾倍？
- 挑戰由 GMm / r² = mv² / r 推導圓軌道速率公式，並求 r = 7.0 × 10⁶ m 時的速率。
- 錯題重練有同學答「軌道越高，衛星速度越快，所以越高越容易發射」，錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | F = G m₁ m₂ / r² = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5 × 10 / 4 ≈ 8.34 × 10⁻¹⁰ N | 萬有引力與兩質量乘積成正比、與距離平方成反比。 |
| 2 | v = 2πr / T = 2π(7.0 × 10⁶) / 5800 ≈ 7.6 × 10³ m/s，即約 7.6 km/s | 軌道速率同樣是圓周長除以週期。 |
| 3 | GM = g R² = 9.8 × (6.4 × 10⁶)² ≈ 4.0 × 10¹⁴ m³ s⁻² | GM 是地球的固定常數，計任何軌道都要用。 |
| 4 | 較長；克卜勒第三定律 T² ∝ r³，半徑越大週期越長 | 軌道越高走得越慢，兩件事是同一條定律的兩面。 |
| 5 | T = 86400 s；ω = 2π / T ≈ 7.3 × 10⁻⁵ rad/s | 同步衛星的角速度必須等於地球自轉的角速度。 |
| 6 | r = (GM T² / 4π²)^(1/3) ≈ (4.0 × 10¹⁴ × 7.46 × 10⁹ / 39.5)^(1/3) ≈ 4.2 × 10⁷ m | 先算 r³ 再開立方，得到約 42 000 km，比地球半徑大得多。 |
| 7 | 太空人與太空站同以相同加速度自由下落，兩者之間沒有法向力，感覺不到支持力，並非重力消失 | 失重是沒有支持力，不是沒有重力。 |
| 8 | T² ∝ r³：(T/T_E)² = 4³ = 64，所以 T/T_E = 8 倍 | 先平方再開方，不要直接把 4 當答案。 |
| 9 | 化簡得 v = √(GM / r)；v = √(4.0 × 10¹⁴ / 7.0 × 10⁶) ≈ 7.6 × 10³ m/s | 質量 m 兩邊約去，所以軌道速率與衛星質量無關。 |
| 10 | 由 v = √(GM / r) 可見 r 越大速率越小；軌道越高反而越慢，但發射時要爬升更高，所需能量更多 | 「越高越快」是把週期與速率混淆。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。