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中六物理：圓周運動與萬有引力 — 練習第三份（挑戰，10 題）
中六物理：圓周運動與萬有引力 — 練習第三份（挑戰，10 題）
第三份把兩部分合起來用：由半徑比求週期比、由軌道半徑求引力、加速度與速度的夾角、離心機的大加速度、摩擦力限制的過彎速率、繩張力、火星表面重力、由 r 到 2r 的週期變化，最後用月球軌道數據同時求速率與向心加速度，並拆解「向心力與速度同方向」這個錯誤。
快速答案 半徑比 1:4 得週期比 8:1；500 kg 衛星受引力約 4.1 × 10³ N；加速度指向圓心並與速度成 90 度；3000 rpm 半徑 0.2 m 得 1.97 × 10⁴ m/s²；摩擦係數 0.6 半徑 40 m 得 15.3 m/s；0.5 kg 繩張力 10 N；火星表面 g ≈ 3.69 m/s²；r 到 2r 週期變 2.83 倍；月球速率 1.02 km/s、向心加速度 2.7 × 10⁻³ m/s²；向心力垂直於速度。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 30 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六物理｜圓周運動與萬有引力：向心力、角速度與軌道週期 |
| 適用年級 | 中六 |
02 題目（10 題）
- 基礎兩顆衛星的軌道半徑比為 1 : 4。求它們週期的比。
- 基礎質量 500 kg 的衛星在半徑 7.0 × 10⁶ m 的圓軌道上。求地球對它的引力。
- 基礎勻速圓周運動中，加速度的方向指向哪裏？與速度方向的夾角是多少？
- 基礎離心機半徑 0.2 m，以 3000 rpm 轉動。求它的向心加速度。
- 進階汽車在半徑 40 m 的彎路上行駛，輪胎與路面摩擦係數 0.6。求不致滑出的最大速率。
- 進階質量 0.5 kg 的小球以 4 m/s 在半徑 0.8 m 的水平圓周上轉動。求繩的張力。
- 進階火星質量 6.4 × 10²³ kg、半徑 3.4 × 10⁶ m。求火星表面的重力加速度。
- 挑戰一個衛星的軌道半徑由 r 增加到 2r。它的週期變為原來的幾倍？
- 挑戰月球繞地球的軌道半徑約 3.84 × 10⁸ m，週期約 2.36 × 10⁶ s。求月球繞地的平均速率與向心加速度。
- 錯題重練有同學答「向心力與速度同一方向，所以物體越轉越快」，錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | T² ∝ r³：(T₂/T₁)² = 4³ = 64，故 T₂ : T₁ = 8 : 1 | 週期比是半徑比的 1.5 次方倍。 |
| 2 | F = GMm / r² = 4.0 × 10¹⁴ × 500 / (7.0 × 10⁶)² ≈ 4.1 × 10³ N | 這個引力同時就是衛星所需的向心力。 |
| 3 | 指向圓心，與速度方向垂直成 90 度，所以只改變方向不改變速率 | 加速度垂直於速度，才只轉向不加速。 |
| 4 | f = 50 Hz；a = 4π²f²r ≈ 39.5 × 2500 × 0.2 ≈ 1.97 × 10⁴ m/s² | 先換算頻率，再用 a = 4π²f²r，這個加速度約為重力加速度的二千倍。 |
| 5 | μmg = mv²/r → v = √(μ g r) = √(0.6 × 9.8 × 40) ≈ 15.3 m/s | 摩擦力提供向心力，超過上限就會滑出彎路。 |
| 6 | T = m v² / r = 0.5 × 16 / 0.8 = 10 N | 水平圓周運動中，張力就是向心力的來源。 |
| 7 | g = GM / R² = 6.67 × 10⁻¹¹ × 6.4 × 10²³ / (3.4 × 10⁶)² ≈ 3.69 m/s² | 半徑小但質量也小，結果只有地球的三分之一左右。 |
| 8 | T ∝ r^1.5：2^1.5 ≈ 2.83，所以週期約為原來的 2.83 倍 | 半徑加倍不等於週期加倍，要用 1.5 次方。 |
| 9 | v = 2πr / T ≈ 1.02 × 10³ m/s；a = v² / r ≈ 2.7 × 10⁻³ m/s² | 月球的向心加速度遠小於地面重力加速度，正是平方反比的結果。 |
| 10 | 向心力沿半徑指向圓心，與速度垂直；垂直的力只改變方向、不作功，所以速率不變 | 力與速度同方向才會改變速率，垂直只改變方向。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。