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中六物理萬有引力 第二份：軌道、逃逸速度與雙星
中六物理萬有引力 第二份：軌道、逃逸速度與雙星
由 g = GM ÷ R² 反求質量，計圓軌道週期、逃逸速度、雙星引力與同步衛星速度，10 題分四級。
練習重點 軌道半徑一律由地心量起；圓軌道用 T = 2π√(r³ ÷ GM)，逃逸速度用 v = √(2gR)。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六物理：萬有引力 |
| 適用年級 | 基礎 4 題、進階 3 題、挑戰 2 題、錯題重練 1 題 |
02 題目（10 題）
- 基礎地球表面 g 取 9.8 m/s²，一位 60 kg 的學生體重（重力）是多少？
- 基礎兩個各 2 kg 的球相距 0.5 m，求它們之間的引力（G = 6.67 × 10⁻¹¹）。
- 基礎某行星半徑 3.2 × 10⁶ m，表面 g 為 5.0 m/s²，求其質量。
- 基礎物體升到離地心 2R 的高度，該處 g 是多少（地表取 9.8 m/s²）？
- 進階衛星在 8.0 × 10⁶ m 的圓軌道運行（地球質量 6.0 × 10²⁴ kg），求週期。
- 進階火星表面 g = 3.7 m/s²、半徑 3.4 × 10⁶ m，求逃逸速度。
- 進階某星球質量與地球相同，但半徑是地球 4 倍。其逃逸速度是地球的幾倍？約多少？
- 挑戰雙星系統中兩顆各 2.0 × 10³⁰ kg 的恒星相距 1.0 × 10¹¹ m，求它們之間的引力。
- 挑戰同步衛星軌道半徑 4.2 × 10⁷ m、週期 24 小時，求其軌道速度。
- 錯題重練太空站在離地 400 km 運行，有學生用 r = 4.0 × 10⁵ m 算出 31.6 km/s。錯在哪裡，正確速度約多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 588 N | W = mg = 60 × 9.8 = 588 N，質量 60 kg 不變，但体重會隨 g 改變。 |
| 2 | 約 1.07 × 10⁻⁹ N | F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 2 × 2 ÷ 0.5² ≈ 1.07 × 10⁻⁹ N，日常物體的引力小得無法察覺。 |
| 3 | 約 7.7 × 10²³ kg | 由 g = GM ÷ R² 反求 M = gR² ÷ G = 5.0 × 1.02 × 10¹³ ÷ 6.67 × 10⁻¹¹ ≈ 7.7 × 10²³ kg。 |
| 4 | 2.45 m/s² | 距離變 2 倍，g 按平方反比變成 9.8 ÷ 4 ≈ 2.45 m/s²。 |
| 5 | 約 7.1 × 10³ s，即約 118 分鐘 | T = 2π√(r³ ÷ GM) = 2π√(5.12 × 10²⁰ ÷ 4.0 × 10¹⁴) ≈ 7.1 × 10³ s，約兩小時一圈。 |
| 6 | 約 5.0 km/s | v = √(2gR) = √(2 × 3.7 × 3.4 × 10⁶) ≈ 5.0 × 10³ m/s，比地球的 11.2 km/s 易得多。 |
| 7 | 一半，約 5.6 km/s | v = √(2GM ÷ R)，R 變 4 倍則 v 變 1／2，即 11.2 ÷ 2 = 5.6 km/s。 |
| 8 | 約 2.67 × 10²⁸ N | F = 6.67 × 10⁻¹¹ × (2.0 × 10³⁰)² ÷ (1.0 × 10¹¹)² ≈ 2.67 × 10²⁸ N，質量巨大足以克服距離。 |
| 9 | 約 3.1 km/s | v = 2πr ÷ T = 2 × 3.14 × 4.2 × 10⁷ ÷ 86 400 ≈ 3.05 × 10³ m/s，比低軌衛星慢得多。 |
| 10 | r 要由地心量起，即 6.4 × 10⁶ + 4.0 × 10⁵ = 6.8 × 10⁶ m；正確約 7.7 km/s | 軌道半徑是地心到衛星，不是高度；代入 6.8 × 10⁶ m 得 √(4.0 × 10¹⁴ ÷ 6.8 × 10⁶) ≈ 7.7 × 10³ m/s。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
