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中六物理萬有引力 第三份：平方反比與開普勒定律
中六物理萬有引力 第三份：平方反比與開普勒定律
在月球與不同行星上算體重與 g，再由軌道週期比推半徑比，最後核對逃逸速度與圓軌道速度的分別，10 題分四級。
練習重點 g 與距離平方成反比、與質量成正比；T ∝ r^(3/2)，所以 r ∝ T^(2/3)。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六物理：萬有引力 |
| 適用年級 | 基礎 4 題、進階 3 題、挑戰 2 題、錯題重練 1 題 |
02 題目（10 題）
- 基礎月球表面 g = 1.6 m/s²，一位 50 kg 的太空人體重是多少？
- 基礎兩個各 5 kg 的球相距 1 m，求它們之間的引力（G = 6.67 × 10⁻¹¹）。
- 基礎某行星半徑 5.0 × 10⁶ m，表面 g 為 8.0 m/s²，求其質量。
- 基礎物體在離地心 3R 處，該處 g 是多少（地表取 9.8 m/s²）？
- 進階衛星在 7.0 × 10⁶ m 的圓軌道運行（地球質量 6.0 × 10²⁴ kg），求週期。
- 進階地球質量 6.0 × 10²⁴ kg、半徑 6.4 × 10⁶ m，求逃逸速度。
- 進階某行星質量是地球 2 倍、半徑亦是 2 倍，其表面 g 與地球相比如何（地表取 9.8 m/s²）？
- 挑戰兩顆衛星繞同一行星運行，外側衛星週期是內側的 2 倍。其軌道半徑是內側的幾倍？
- 挑戰某行星質量是地球 3 倍而半徑相同，其表面 g 是多少（地表取 9.8 m/s²）？
- 錯題重練有學生用 v = √(gR) 算地球逃逸速度，得 7.9 km/s。錯在哪裡，正確值與相差倍數是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 80 N | W = mg = 50 × 1.6 = 80 N，比地球上同一個人輕得多，但質量仍是 50 kg。 |
| 2 | 約 1.67 × 10⁻⁹ N | F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5 × 5 ÷ 1² ≈ 1.67 × 10⁻⁹ N，質量各增 5 倍令引力變成 25 倍。 |
| 3 | 約 3.0 × 10²⁴ kg | M = gR² ÷ G = 8.0 × 2.5 × 10¹³ ÷ 6.67 × 10⁻¹¹ ≈ 3.0 × 10²⁴ kg。 |
| 4 | 約 1.09 m/s² | g 與距離平方成反比：9.8 ÷ 3² = 9.8 ÷ 9 ≈ 1.09 m/s²。 |
| 5 | 約 5.8 × 10³ s，即約 97 分鐘 | T = 2π√(r³ ÷ GM) = 2π√(3.43 × 10²⁰ ÷ 4.0 × 10¹⁴) ≈ 5.8 × 10³ s，比 24 小時短得多。 |
| 6 | 約 11.2 km/s | v = √(2GM ÷ R) = √(8.0 × 10¹⁴ ÷ 6.4 × 10⁶) ≈ 1.12 × 10⁴ m/s，即 11.2 km/s。 |
| 7 | 一半，即 4.9 m/s² | g = GM ÷ R²，質量乘 2、R² 乘 4，所以 g 變 1／2，即 4.9 m/s²。 |
| 8 | 約 1.59 倍 | 由 T ∝ r^(3/2) 得 r ∝ T^(2/3)，所以半徑 = 2^(2/3) ≈ 1.59 倍。 |
| 9 | 29.4 m/s² | g 與質量成正比：9.8 × 3 = 29.4 m/s²，半徑不變所以不用平方。 |
| 10 | √(gR) 是圓軌道速度；逃逸速度要乘 √2，得 11.2 km/s，相差約 1.41 倍 | v = √(2gR) = √2 × 7.9 ≈ 11.2 km/s，漏了因子 2 就只得軌道速度。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。
