A-Level 進階數學操卷方法＋歷屆試題（Paper 2）：雙曲函數、複數、微分方程附答案

第 1 題

(a) cosh²x − sinh²x = 1，且 x > 0，故 cosh x = 5/4，tanh x = sinh x/cosh x = 3/5。(b) arsinh y = ln(y + √(y² + 1))，故 arsinh(3/4) = ln(3/4 + 5/4) = ln 2 ≈ 0.693。

第 2 題

(a) 特徵方程 λ² − (trace)λ + det = λ² − 7λ + 10 = 0，得 λ = 5 或 2；λ = 5 對應 (1, 1)，λ = 2 對應 (1, −2)。(b) A² = [[18, 7], [14, 11]]，7A − 10I = [[18, 7], [14, 11]]，兩者相同，故 A² = 7A − 10I。

第 3 題

(a) f′(0) = 2、f″(0) = −4、f‴(0) = 16，故 ln(1 + 2x) = 2x − 2x² + (8/3)x³ − …，收斂於 |x| < 1/2。(b) x = 0.1 時展開式 = 0.1827，真值 ln 1.2 = 0.1823，相差約 0.0003。

第 4 題

(a) 分部積分並用 cos²x = 1 − sin²x：Iₙ = (n − 1)(I_{n−2} − Iₙ)，整理得 Iₙ = ((n − 1)/n) I_{n−2}。(b) I₄ = (3/4)(1/2)(π/2) = 3π/16 ≈ 0.589；I₅ = (4/5)(2/3)(1) = 8/15 ≈ 0.533。

第 5 題

(a) |z| = √(1 + 3) = 2、arg z = π/3，故 z = 2cis(π/3)，z⁶ = 2⁶cis(2π) = 64。(b) 根為 2cis(π/6)、2cis(5π/6)、2cis(3π/2)，即 √3 + i、−√3 + i、−2i；三者之和 = 0（複數根之和恆為 0）。

第 6 題

(a) 積分因子 e^(2x)：d/dx(y e^(2x)) = e^(x)，故 y e^(2x) = e^(x) + C，即 y = e^(−x) + Ce^(−2x)；代入 y(0) = 3 得 C = 2，所以 y = e^(−x) + 2e^(−2x)。(b) y(1) = 0.3679 + 2 × 0.1353 = 0.639。

第 7 題

(a) sinh²x = cosh²x − 1 = 25/9 − 1 = 16/9，且 x > 0，故 sinh x = 4/3，tanh x = 4/5。(b) x = arcosh(5/3) = ln(5/3 + 4/3) = ln 3 ≈ 1.099。