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A-Level 進階數學 9231 Paper 1 進階純數學 1 操卷練習卷（8 題・75 分・2 小時）
練習卷 · A-Level 進階數學 9231
A-Level 進階數學 9231 Paper 1 進階純數學 1 操卷練習卷：8 題、75 分、2 小時，覆蓋多項式根與對稱和、矩陣特徵值與反矩陣、數列求和、複數極式與三次根、平面與直線向量、數學歸納法、Maclaurin 展開及極坐標面積，附題目版及答案版 PDF，每題附評分要點與操卷技巧。
卷面資料 年級：A-Level（AS／A2） ｜ 科目：進階數學 9231 ｜ 時限：120 分鐘 ｜ 總分：75 分 ｜ 題數：8
本卷共 8 題，全部必答，共 75 分，時限 2 小時。
每題須展示計算步驟；只寫答案而不展示步驟者，該題最多得一半分數。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 三次方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 的三個根為 α、β、γ。 (a) 求 Σα² 及 Σα²β² 的值。 (b) 求一個以 α + 1、β + 1、γ + 1 為根的三次方程，並以整數係數表示。 （8 分） |
(a) 由根與係數的關係：Σα = 6，Σαβ = 11，αβγ = 6。 Σα² = (Σα)² − 2Σαβ = 36 − 22 = 14。 Σα²β² = (Σαβ)² − 2αβγΣα = 121 − 2(6)(6) = 121 − 72 = 49。 (b) 新根之和 = Σα + 3 = 9；兩兩之和 = Σαβ + 2Σα + 3 = 11 + 12 + 3 = 26；乘積 = αβγ + Σαβ + Σα + 1 = 6 + 11 + 6 + 1 = 24。 故方程為 x³ − 9x² + 26x − 24 = 0（三根為 2、3、4）。 評分要點：(a) 每式 2 分；(b) 三個對稱和各 1 分，最後寫出方程 1 分。 |
| 2 | 矩陣 A = [[4, 1], [2, 3]]。 (a) 求 A 的兩個特徵值及對應的特徵向量。 (b) 求 A⁻¹，並由此解方程組 4x + y = 9、2x + 3y = 7。 （9 分） |
(a) det(A − λI) = (4 − λ)(3 − λ) − 2 = λ² − 7λ + 10 = (λ − 5)(λ − 2)，故 λ = 5 或 λ = 2。 λ = 5：(4 − 5)x + y = 0，取特徵向量 (1, 1)（驗算 A(1, 1) = (5, 5) = 5(1, 1)）。 λ = 2：(4 − 2)x + y = 0，取特徵向量 (1, −2)（驗算 A(1, −2) = (2, −4) = 2(1, −2)）。 (b) det A = 12 − 2 = 10，A⁻¹ = (1/10)[[3, −1], [−2, 4]]。 x = (3 × 9 − 1 × 7) / 10 = 20 / 10 = 2；y = (−2 × 9 + 4 × 7) / 10 = 10 / 10 = 1。 解為 x = 2、y = 1。 評分要點：特徵方程 2 分、兩個特徵值各 1 分、兩個特徵向量各 1 分；A⁻¹ 2 分、解 1 分。 |
| 3 | (a) 利用標準求和公式，以 n 表示 Σ(r = 1 至 n) r(2r + 3)。 (b) 用部分分式及差分法，證明 Σ(r = 1 至 n) 1/((2r − 1)(2r + 1)) = n/(2n + 1)。 （8 分） |
(a) Σr(2r + 3) = 2Σr² + 3Σr = 2 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3 × n(n + 1)/2。 通分後 = n(n + 1)[2(2n + 1) + 9]/6 = n(n + 1)(4n + 11)/6。 驗算 n = 4：4 × 5 × 27/6 = 90，而 5 + 14 + 27 + 44 = 90。 (b) 1/((2r − 1)(2r + 1)) = (1/2)[1/(2r − 1) − 1/(2r + 1)]。 相加後中間項全部消去，得 (1/2)[1 − 1/(2n + 1)] = (1/2) × 2n/(2n + 1) = n/(2n + 1)。 評分要點：(a) 標準公式各 1 分、代數化簡 2 分；(b) 部分分式 2 分、望遠相消 1 分、結論 1 分。 |
| 4 | 設 z = 2 + 2√3 i。 (a) 求 |z| 及 arg z（以 π 的倍數表示）。 (b) 求 z³，並以 a + bi 形式表示。 (c) 由此解 w³ = −64，把三個根寫成 r(cos θ + i sin θ) 形式。 （10 分） |
(a) |z| = √(4 + 12) = 4；tan θ = 2√3/2 = √3，且 z 在第一象限，故 arg z = π/3。 即 z = 4(cos π/3 + i sin π/3)。 (b) z³ = 4³(cos π + i sin π) = 64(−1 + 0i) = −64。 (c) 由 (b)，w = 4(cos π/3 + i sin π/3) 是其中一個根；其餘兩根為輻角加 2π/3 及 4π/3： 4(cos π/3 + i sin π/3) = 2 + 2√3 i；4(cos π + i sin π) = −4；4(cos 5π/3 + i sin 5π/3) = 2 − 2√3 i。 評分要點：(a) 模 2 分、輻角 1 分；(b) 3 分；(c) 每根 1 分，餘 1 分給 π 的倍數寫法。 |
| 5 | 平面 Π 的方程為 2x − y + 2z = 9，點 A(1, −1, 3)，直線 l 的方程為 r = (3, 1, 2) + t(1, −2, 2)。 (a) 證明 A 在 Π 上，並求 l 與 Π 的交點。 (b) 求點 B(5, 1, 4) 到 Π 的垂直距離。 (c) 求直線 l 與平面 Π 所成的角 θ，答案以 sin θ 表示。 （10 分） |
(a) 代入 A：2(1) − (−1) + 2(3) = 2 + 1 + 6 = 9，故 A 在 Π 上。 把 l 代入 Π：2(3 + t) − (1 − 2t) + 2(2 + 2t) = 6 + 2t − 1 + 2t + 4 + 4t = 9 + 8t。 令 9 + 8t = 9，得 t = 0，交點為 (3, 1, 2)。 (b) 代入 B：2(5) − 1 + 2(4) = 17。法向量長 = √(4 + 1 + 4) = 3。距離 = |17 − 9| / 3 = 8/3。 (c) 設 l 的方向向量 d = (1, −2, 2)，Π 的法向量 n = (2, −1, 2)。 d · n = 2 + 2 + 4 = 8，|d| = |n| = 3，故 sin θ = 8/9（θ ≈ 62.7°）。 評分要點：(a) 證 A 2 分、交點 2 分；(b) 代入與法向量長 2 分、答案 1 分；(c) 點積與模各 1 分、答案 1 分。 |
| 6 | 證明對所有正整數 n，Σ(r = 1 至 n) r 2^r = (n − 1)2^(n+1) + 2。 （10 分） |
當 n = 1：左式 = 1 × 2 = 2，右式 = 0 × 4 + 2 = 2，命題成立。 假設對某正整數 k 成立，即 Σ(r = 1 至 k) r 2^r = (k − 1)2^(k+1) + 2。 則 Σ(r = 1 至 k+1) r 2^r = (k − 1)2^(k+1) + 2 + (k + 1)2^(k+1) = 2^(k+1)[(k − 1) + (k + 1)] + 2 = 2^(k+1)(2k) + 2 = k 2^(k+2) + 2 = ((k + 1) − 1)2^((k+1)+1) + 2，即命題對 n = k + 1 亦成立。 由數學歸納法，命題對所有正整數 n 成立。 評分要點：奠基 2 分、歸納假設 2 分、代入並化簡 4 分、結論句 2 分。 |
| 7 | 設 f(x) = √(1 + 2x)。 (a) 求 f′(x)、f″(x) 及 f‴(x)。 (b) 由此求 f(x) 的 Maclaurin 展開式，展開至 x³ 項。 (c) 用 (b) 的展開式估計 √1.2，並求與真值之差（以科學記數法表示）。 （10 分） |
(a) f′(x) = (1 + 2x)^(−1/2)；f″(x) = −(1 + 2x)^(−3/2)；f‴(x) = 3(1 + 2x)^(−5/2)。 故 f(0) = 1、f′(0) = 1、f″(0) = −1、f‴(0) = 3。 (b) Maclaurin 展開：1 + x + (−1)x²/2! + 3x³/3! = 1 + x − x²/2 + x³/2。 (c) 取 x = 0.1：1 + 0.1 − 0.005 + 0.0005 = 1.0955。 真值 √1.2 = 1.095445…，差 = 1.0955 − 1.095445 = 5.5 × 10⁻⁵（約 5.49 × 10⁻⁵）。 評分要點：(a) 每個導數 1 分、四個導數值 1 分；(b) 公式與係數 3 分；(c) 代入 1 分、真值 1 分、差 1 分。 |
| 8 | 極坐標曲線 C 的方程為 r = a(1 + cos θ)，0 ≤ θ ≤ 2π，其中 a > 0。 (a) 證明 C 所圍的面積為 (3/2)πa²。 (b) 取 a = 2，求該面積（準確值及 3 位有效數字），並求 θ = π/3 時的 r。 （10 分） |
(a) 面積 = (1/2)∫(0 至 2π) r² dθ = (a²/2)∫(0 至 2π) (1 + cos θ)² dθ。 展開：1 + 2cos θ + cos²θ，而 cos²θ = (1 + cos 2θ)/2。 ∫(0 至 2π) 1 dθ = 2π；∫(0 至 2π) 2cos θ dθ = 0；∫(0 至 2π) cos²θ dθ = π。 總和 = 2π + 0 + π = 3π，故面積 = (a²/2)(3π) = (3/2)πa²。 (b) a = 2：面積 = (3/2)π(4) = 6π ≈ 18.8。 θ = π/3 時 cos θ = 1/2，r = 2(1 + 1/2) = 3。 評分要點：(a) 面積公式 2 分、展開與 cos² 半角 2 分、逐項積分 1 分、結論 1 分；(b) 準確值 2 分、小數 1 分、r = 3 一分。 |
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