CIE A-Level 數學 9709 Paper 1 純數模擬卷（第二套）｜75 分・1 小時 50 分

AS 純數操卷

CIE A-Level · 數學 9709 · Paper 1 Pure Mathematics 1（第二套）

資料與常用公式

試題

合共 75 分 · 1 小時 50 分 · 須列出步驟，準確值優先

1. 已知 f(x) = 2x² − 8x + 3。
(i) 將 f(x) 寫成 a(x + b)² + c 的形式。
(ii) 由此寫出曲線 y = f(x) 的頂點坐標及 f(x) 的最小值。 [5]

2. 在 (1 + 3x)⁶ 的展開式中，按 x 的升冪寫出首四項，並寫出 x² 項的係數。 [5]

3. 已知 A(−1, 4) 及 B(5, 2)。
(i) 求 AB 的中點 M 及 AB 的長度（以根式表示）。
(ii) 求 AB 的斜率，並由此求通過 B 且垂直於 AB 的直線方程（以 y = mx + k 表示）。 [6]

4. 一扇形的半徑為 6 cm，圓心角為 1.2 rad。
(i) 求弧長、周界及扇形面積（面積以 cm² 表示，準至 3 位小數）。
(ii) 求由該扇形與其弦所圍成的弓形面積。 [7]

5. 解方程 4 sin²x = 1，其中 0° ≤ x ≤ 360°，答案須準確至度。 [7]

6. 曲線 y = x³ − 6x² + 9x。
(i) 求 dy/dx，並求曲線的駐點。
(ii) 用二階導數判定各駐點的性質，並寫出對應的 y 值。 [7]

7. 計算 ∫₁⁴ (3x² − 4x + 1) dx，並說明結果的幾何意義。 [8]

8. (i) 一等差數列首項為 7，公差為 3，求第 20 項及首 20 項之和。
(ii) 一等比數列為 12, 8, 16/3, …，求公比及無窮項之和。 [8]

9. 已知 f(x) = 2x + 3 及 g(x) = x² − 1。
(i) 求 gf(x) 的展開式。
(ii) 求 f⁻¹(x)。
(iii) 解方程 gf(x) = 0。 [8]

10. 相對於原點 O，位置向量 OA = 2i + j，OB = 6i − 5j。
(i) 求向量 AB。
(ii) 求 |AB|（以根式表示）。
(iii) 求與 AB 同方向的單位向量。
(iv) M 為 AB 的中點，求位置向量 OM。 [9]

11. 已知 f(x) = x³ − 4x² + x + 6。
(i) 證明 (x + 1) 是 f(x) 的因式。
(ii) 將 f(x) 完全因式分解，並寫出方程 f(x) = 0 的所有根。 [5]

答案與評分要點

Q1（5 分） 二次函數與配方法

(i) f(x) = 2(x² − 4x) + 3 = 2[(x − 2)² − 4] + 3 = 2(x − 2)² − 5（B1 抽 factor 2、M1 完成平方、A1 常數）。
(ii) 頂點 (2, −5)，最小值 −5（A1 頂點、A1 最小值）。驗算：f(2) = 8 − 16 + 3 = −5。

Q2（5 分） 二項式定理

(1 + 3x)⁶ = 1 + 6(3x) + 15(3x)² + 20(3x)³ + … = 1 + 18x + 135x² + 540x³ + …（M1 用 ⁶Cᵣ、A1 18x、A1 135x²、A1 540x³）。x² 的係數 = 135。

Q3（6 分） 坐標幾何

(i) M = ((−1 + 5)/2, (4 + 2)/2) = (2, 3)（M1 A1）；AB = √(6² + (−2)²) = √40 = 2√10（M1 A1）。
(ii) 斜率 m_AB = (2 − 4)/(5 − (−1)) = −1/3；垂直斜率 = 3；y − 2 = 3(x − 5) → y = 3x − 13（M1 A1）。

Q4（7 分） 弧度法

(i) 弧長 = rθ = 6 × 1.2 = 7.2 cm；周界 = 2(6) + 7.2 = 19.2 cm；面積 = ½ r²θ = ½(36)(1.2) = 21.6 cm²。
(ii) 三角形面積 = ½(36) sin 1.2 = 16.7767 cm²；弓形面積 = 21.6 − 16.7767 = 4.823 cm²（M1 三角形、M1 相減、A1）。

Q5（7 分） 三角方程

sin²x = 1/4 → sin x = ±1/2（M1）。sin x = 1/2：x = 30°, 150°；sin x = −1/2：x = 210°, 330°（A1 A1）。
答案：x = 30°, 150°, 210°, 330°（4 個解齊全才得最後 A1）。

Q6（7 分） 微分

(i) dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)（M1 A1）；駐點 x = 1, 3（A1）。
(ii) d²y/dx² = 6x − 12：x = 1 時 = −6 < 0 → 極大點 (1, 4)；x = 3 時 = 6 > 0 → 極小點 (3, 0)（A1 A1 A1）。

Q7（8 分） 定積分

∫(3x² − 4x + 1) dx = x³ − 2x² + x（M1 A1 A1）。代入上限 4：64 − 32 + 4 = 36；下限 1：1 − 2 + 1 = 0（M1）。積分 = 36 − 0 = 36（A1）。幾何意義：曲線 y = 3x² − 4x + 1、x 軸與 x = 1、x = 4 所圍的區域面積（A1，因該區間函數為正）。

Q8（8 分） 數列

(i) u₂₀ = 7 + 19(3) = 64（M1 A1）；S₂₀ = 20/2 × (7 + 64) = 10 × 71 = 710（M1 A1）。
(ii) r = 8/12 = 2/3（A1）；S∞ = 12 ÷ (1 − 2/3) = 12 ÷ 1/3 = 36（M1 A1）。

Q9（8 分） 函數

(i) gf(x) = (2x + 3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8（M1 A1 A1）。
(ii) 令 y = 2x + 3 → x = (y − 3)/2，故 f⁻¹(x) = (x − 3)/2（M1 A1）。
(iii) 4x² + 12x + 8 = 0 → x² + 3x + 2 = 0 → (x + 1)(x + 2) = 0 → x = −1 或 x = −2（M1 A1）。

Q10（9 分） 向量

(i) AB = OB − OA = (6 − 2)i + (−5 − 1)j = 4i − 6j（M1 A1）。
(ii) |AB| = √(4² + (−6)²) = √52 = 2√13（≈ 7.211）（M1 A1）。
(iii) 單位向量 = (4i − 6j)/2√13 = (2i − 3j)/√13（M1 A1）。
(iv) OM = (OA + OB)/2 = 4i − 2j（M1 A1）。

Q11（5 分） 多項式與因式定理

(i) f(−1) = (−1)³ − 4(−1)² + (−1) + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0，故 (x + 1) 為因式（M1 A1）。
(ii) 長除或比較係數：f(x) = (x + 1)(x² − 5x + 6) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)（M1 A1）；根為 x = −1, 2, 3（A1）。

課題分佈

常見失分

• 配方法漏抽公因數 2，或把 −5 寫成 +5（把 2(x − 2)² + 3 − 8 算錯）。
• 二項式係數用 ⁶Cᵣ 卻忘記乘 3ʳ，或把升冪、降冪次序搞亂。
• 弧度法的 θ 用了度數：θ = 1.2° 而非 1.2 rad；弓形面積忘記先減三角形。
• 解 sin²x = 1/4 只取正根 30°、150°，漏掉 210°、330°。
• 定積分先代下限再代上限，或上下限相減次序反了，令面積變負。
• 向量 AB 寫成 OA − OB；單位向量忘記除以 |AB|。

常見問題

這份卷同官方 9709 Paper 1 一樣嗎？
卷制（75 分、1 小時 50 分、全部必答、可用計算機）依官方 9709 syllabus，題目為本校自擬，並非官方真題，答案與評分要點同 CIE mark scheme 的 M／A 標記方式一致。

點解答案要寫分數、根式、π 倍數？
CIE 純數卷的 A 分要求準確值；寫 7.21 這類小數即使數值接近，通常只得 M 分。建議同時寫準確值與小數近似值。

適唔適合自修？
適合。先閉卷 110 分鐘做完，之後用答案卷逐題對「M1／A1」步驟，錯的題目重做一次，並記低係公式、代入還是單位出錯。

TutorZone 原創練習卷；答案的 M／A 標記法參照 CIE mark scheme 慣例。

數值全部由程式計算並核對；如發現錯誤請電郵 tutorzoneee@gmail.com。