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A-Level 进阶数学刷题方法＋历届试题（Paper 4）：连续随机变数、t 检定、卡方检定附答案
TUTORZONE 原创刷题模拟卷 · 剑桥 A-Level 进阶数学 (9231) Paper 4 进阶几率与统计
依剑桥 9231 课程（2026–2027）编写：Paper 4 进阶几率与统计为 50 分、1 小时 30 分钟、5–7 题结构题，占 AS Level 40%、A Level 20%。AS Level 只需 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4；本卷 5 题共 50 分，附模拟答案与刷题方法。
问：A-Level 进阶数学 (9231) Paper 4 占几多分、几长？
直接答案：Paper 4 进阶几率与统计：50 分、1 小时 30 分钟、5–7 题结构题，占 AS Level 40%、A Level 20%（剑桥 9231，2026–2027）。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（进阶纯数 1） | 6–8 题结构题，75 分 | 60% AS / 30% A Level | 2 小时 |
| Paper 2（进阶纯数 2） | 7–9 题结构题，75 分 | 30% A Level | 2 小时 |
| Paper 3（进阶力学） | 5–7 题结构题，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小时 30 分钟 |
| Paper 4（进阶几率与统计） | 5–7 题结构题，50 分 | 40% AS / 20% A Level | 1 小时 30 分钟 |
Paper 4 刷题技巧：全卷 1 小时 30 分钟 5 题，平均每题约 18 分钟。先做几率母函数与符号检定（计算短），再做 χ² 检定与 t 区间，最后处理连续随机变数的积分。必记：∫f(x)dx = 1、E(X) = ∫xf(x)dx、Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]²、信赖区间 = 平均值 ± t × 标准误。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创刷题模拟卷：题目按剑桥 9231 进阶数学的卷制（Paper 4 进阶几率与统计：50 分、1 小时 30 分钟、5–7 题结构题、20% A-Level）自行编写，答案为自行演算，并非剑桥历届试题或官方评卷参考。
所有数值答案均由程式重新计算并核对，作为刷题后的自我检查基准。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（进阶纯数 1） | 60% AS / 30% A Level | 每题约 18 分钟 | 多项式根、级数、矩阵、极坐标、向量、归纳法 |
| Paper 2（进阶纯数 2） | 30% A Level | 每题约 16 分钟 | 双曲函数、特征值、级数展开、复数、微分方程 |
| Paper 3（进阶力学） | 40% AS / 20% A Level | 每题约 15 分钟 | 抛体运动、刚体平衡、圆周运动、虎克定律、动量 |
| Paper 4（进阶几率与统计） | 40% AS / 20% A Level | 每题约 15 分钟 | 连续随机变数、t 检定、卡方检定、无母数检定、几率母函数 |
问：本卷五题分别考什么？
直接答案：连续随机变数的密度、平均数与方差、常态平均的 t 信赖区间、χ² 适合度检定、无母数符号检定、几率母函数求平均数与方差。
Paper 4：进阶几率与统计刷题（5 题，50 分）
五题覆盖进阶几率与统计的主要课题：连续随机变数、常态与 t 分布推论、χ² 检定、无母数的符号检定、几率母函数。
第 1 题 （12 分）
连续随机变数 X 的几率密度函数为 f(x) = kx²（0 ≤ x ≤ 3），其他情况 f(x) = 0。(a) 求 k。（3 分）(b) 求 E(X) 与 Var(X)。（6 分）(c) 求 P(X > 2)。（3 分）
第 2 题 （10 分）
由正态分布抽出 12 个观测值，样本平均 24.6、样本标准差 1.8。已知 95% 信赖区间所用的 t 值（11 自由度）为 2.201。(a) 求母体平均 μ 的 95% 信赖区间。（7 分）(b) 解释这个区间的意思。（3 分）
第 3 题 （10 分）
掷一颗骰子 120 次，观察到的次数为 14、27、18、22、19、20。用 5% 显著水平的 χ² 适合度检定检查骰子是否公平（5 自由度、5% 临界值 = 11.07）。(a) 写出期望次数并求 χ² 统计量。（7 分）(b) 写出结论。（3 分）
第 4 题 （9 分）
12 对配对数据中，8 对的后测值高于前测、3 对的前测值较高、1 对相同。用符号检定（sign test）在 5% 显著水平检验中位数有没有改变。(a) 写出检定统计量与有效样本数。（3 分）(b) 求双尾 p 值。（4 分）(c) 写出结论。（2 分）
第 5 题 （9 分）
离散随机变数 X 的几率母函数（probability generating function）为 G(t) = (1/3)t + (1/2)t² + (1/6)t³。(a) 求 P(X = 2)。（2 分）(b) 求 E(X)。（3 分）(c) 用 Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]² 求 Var(X)。（4 分）
问：χ² 统计量 4.7 在 5% 水平下代表什么？
直接答案：5 自由度的 5% 临界值为 11.07；4.7 < 11.07，不拒绝“骰子公平”，即没有足够证据显示骰子不公平。
Paper 4 模拟答案
第 1 题
(a) ∫₀³ kx² dx = 9k = 1，故 k = 1/9。(b) E(X) = (1/9)∫₀³ x³ dx = 9/4 = 2.25；E(X²) = (1/9)∫₀³ x⁴ dx = 27/5 = 5.4；Var(X) = 5.4 − 2.25² = 27/80 = 0.3375。(c) P(X > 2) = 1 − (1/9)(2³/3) = 1 − 8/27 = 19/27 ≈ 0.704。
第 2 题
(a) 标准误 = 1.8/√12 = 0.5196，半宽 = 2.201 × 0.5196 = 1.1437，故区间为 24.6 ± 1.14，即 23.46 至 25.74（取 3 位有效数字为 23.5 至 25.7；题目未指定准确度时，先写精确值再舍入）。(b) 这个区间的意义在于方法：若重复抽样并每次用同一方法计算，约 95% 的区间会包含真正的 μ；不能说成“μ 有 95% 几率落在 23.46 至 25.74 之间”。
第 3 题
(a) 若公平，每面期望次数 = 120/6 = 20；χ² = (14−20)²/20 + (27−20)²/20 + (18−20)²/20 + (22−20)²/20 + (19−20)²/20 + 0 = 4.7。(b) 4.7 < 11.07，不拒绝公平的假设：没有足够证据显示骰子不公平。
第 4 题
(a) 去掉相同的 1 对，有效样本 n = 11；取较少的一边 X = 3。(b) P(X ≤ 3) = (1 + 11 + 55 + 165)/2¹¹ = 232/2048 = 29/256 ≈ 0.113，双尾 p 值 ≈ 0.227。(c) 0.227 > 0.05，不拒绝原假设：没有足够证据显示中位数有改变。
第 5 题
(a) t² 的系数就是 P(X = 2) = 1/2。(b) G′(t) = 1/3 + t + (1/2)t²，故 E(X) = G′(1) = 11/6 ≈ 1.833。(c) G″(t) = 1 + t，G″(1) = 2；Var(X) = 2 + 11/6 − (11/6)² = 17/36 ≈ 0.472。
问：这份卷有几题、几多分？
直接答案：5 题，共 50 分，与 Paper 4 的 50 分一致；建议用 1 小时 30 分钟完成。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 几率密度函数未归一 | 直接积分而不先求 k | 先用 ∫f(x)dx = 1 定出 k | k = 1/9 |
| t 与 z 混用 | 小样本仍用 1.96 | 小样本、σ 未知要用 t 值 | 23.46 至 25.74 |
| χ² 自由度计错 | 六个类别用 6 自由度 | 自由度 = 类别数 − 1 = 5 | 4.7 |
| 符号检定未剔除相同值 | 把 1 对相同的也算入 | 相同的一对要剔除，n = 11 | p ≈ 0.227 |
| 母函数方差公式漏项 | 只用 G″(1) | Var(X) = G″(1) + G′(1) − [G′(1)]² | 17/36 |
怎样用这份卷
第一次刷题：完整计时 1 小时 30 分钟，5 题全做，可用 MF19 与统计表。
对答案：核对自由度、显著水平与结论句；p 值要与临界值比较。
第二次刷题：三至七日后重做，目标 70 分钟内完成。
问：操完 Paper 4 之后应该做什么？
直接答案：①把自由度与结论句的错误抄入错题本；②三至七日后重做；③按报考路线复习 Paper 1 与 Paper 3，完成整个 9231 循环。
常见问题 FAQ
这份卷同剑桥历届试题有关吗？
没有。本卷不是剑桥历届试题：题目与答案都是 TutorZone 原创，并非官方评卷参考。
A-Level 进阶数学 9231 Paper 4 考什么？
进阶几率与统计：连续随机变数、用常态与 t 分布推论、χ² 检定、无母数检定、几率母函数；50 分、1 小时 30 分钟、5–7 题结构题。
Paper 4 在 AS 与 A-Level 各占多少？
Paper 4 占 AS Level 40%、A Level 20%；AS Level 是 Paper 1 加 Paper 3 或 Paper 4。
本卷需要统计表吗？
需要。每题的临界值或 t 值都会写在题目内，方便你在没有表格时也能核对答案。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| 剑桥 A-Level 进阶数学 9231 课程（2026–2027） | 核对 Paper 1–4 的分数、时间与比重 |
| https://www.tutorzone.com.hk/alevel-further-mathematics-9231-paper-3-mock-2027/ | A-Level 进阶数学 Paper 3 刷题模拟卷 |
同系列：备考练习题总览｜A-Level 进阶数学 Paper 2 刷题模拟卷｜A-Level 进阶数学 Paper 3 刷题模拟卷
