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A-Level 进阶数学 9231 Paper 1 进阶纯数学 1 操卷练习卷（8 题・75 分・2 小时）
练习卷 · A-Level 进阶数学 9231
A-Level 进阶数学 9231 Paper 1 进阶纯数学 1 操卷练习卷：8 题、75 分、2 小时，覆盖多项式根与对称和、矩阵特征值与反矩阵、数列求和、复数极式与三次根、平面与直线向量、数学归纳法、Maclaurin 展开及极坐标面积，附题目版及答案版 PDF，每题附评分要点与操卷技巧。
卷面资料 年级：A-Level（AS／A2） ｜ 科目：进阶数学 9231 ｜ 时限：120 分钟 ｜ 总分：75 分 ｜ 题数：8
本卷共 8 题，全部必答，共 75 分，时限 2 小时。
每题须展示计算步骤；只写答案而不展示步骤者，该题最多得一半分数。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 三次方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 的三个根为 α、β、γ。 (a) 求 Σα² 及 Σα²β² 的值。 (b) 求一个以 α + 1、β + 1、γ + 1 为根的三次方程，并以整数系数表示。 （8 分） |
(a) 由根与系数的关系：Σα = 6，Σαβ = 11，αβγ = 6。 Σα² = (Σα)² − 2Σαβ = 36 − 22 = 14。 Σα²β² = (Σαβ)² − 2αβγΣα = 121 − 2(6)(6) = 121 − 72 = 49。 (b) 新根之和 = Σα + 3 = 9；两两之和 = Σαβ + 2Σα + 3 = 11 + 12 + 3 = 26；乘积 = αβγ + Σαβ + Σα + 1 = 6 + 11 + 6 + 1 = 24。 故方程为 x³ − 9x² + 26x − 24 = 0（三根为 2、3、4）。 评分要点：(a) 每式 2 分；(b) 三个对称和各 1 分，最后写出方程 1 分。 |
| 2 | 矩阵 A = [[4, 1], [2, 3]]。 (a) 求 A 的两个特征值及对应的特征向量。 (b) 求 A⁻¹，并由此解方程组 4x + y = 9、2x + 3y = 7。 （9 分） |
(a) det(A − λI) = (4 − λ)(3 − λ) − 2 = λ² − 7λ + 10 = (λ − 5)(λ − 2)，故 λ = 5 或 λ = 2。 λ = 5：(4 − 5)x + y = 0，取特征向量 (1, 1)（验算 A(1, 1) = (5, 5) = 5(1, 1)）。 λ = 2：(4 − 2)x + y = 0，取特征向量 (1, −2)（验算 A(1, −2) = (2, −4) = 2(1, −2)）。 (b) det A = 12 − 2 = 10，A⁻¹ = (1/10)[[3, −1], [−2, 4]]。 x = (3 × 9 − 1 × 7) / 10 = 20 / 10 = 2；y = (−2 × 9 + 4 × 7) / 10 = 10 / 10 = 1。 解为 x = 2、y = 1。 评分要点：特征方程 2 分、两个特征值各 1 分、两个特征向量各 1 分；A⁻¹ 2 分、解 1 分。 |
| 3 | (a) 利用标准求和公式，以 n 表示 Σ(r = 1 至 n) r(2r + 3)。 (b) 用部分分式及差分法，证明 Σ(r = 1 至 n) 1/((2r − 1)(2r + 1)) = n/(2n + 1)。 （8 分） |
(a) Σr(2r + 3) = 2Σr² + 3Σr = 2 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3 × n(n + 1)/2。 通分后 = n(n + 1)[2(2n + 1) + 9]/6 = n(n + 1)(4n + 11)/6。 验算 n = 4：4 × 5 × 27/6 = 90，而 5 + 14 + 27 + 44 = 90。 (b) 1/((2r − 1)(2r + 1)) = (1/2)[1/(2r − 1) − 1/(2r + 1)]。 相加后中间项全部消去，得 (1/2)[1 − 1/(2n + 1)] = (1/2) × 2n/(2n + 1) = n/(2n + 1)。 评分要点：(a) 标准公式各 1 分、代数化简 2 分；(b) 部分分式 2 分、望远相消 1 分、结论 1 分。 |
| 4 | 设 z = 2 + 2√3 i。 (a) 求 |z| 及 arg z（以 π 的倍数表示）。 (b) 求 z³，并以 a + bi 形式表示。 (c) 由此解 w³ = −64，把三个根写成 r(cos θ + i sin θ) 形式。 （10 分） |
(a) |z| = √(4 + 12) = 4；tan θ = 2√3/2 = √3，且 z 在第一象限，故 arg z = π/3。 即 z = 4(cos π/3 + i sin π/3)。 (b) z³ = 4³(cos π + i sin π) = 64(−1 + 0i) = −64。 (c) 由 (b)，w = 4(cos π/3 + i sin π/3) 是其中一个根；其余两根为辐角加 2π/3 及 4π/3： 4(cos π/3 + i sin π/3) = 2 + 2√3 i；4(cos π + i sin π) = −4；4(cos 5π/3 + i sin 5π/3) = 2 − 2√3 i。 评分要点：(a) 模 2 分、辐角 1 分；(b) 3 分；(c) 每根 1 分，余 1 分给 π 的倍数写法。 |
| 5 | 平面 Π 的方程为 2x − y + 2z = 9，点 A(1, −1, 3)，直线 l 的方程为 r = (3, 1, 2) + t(1, −2, 2)。 (a) 证明 A 在 Π 上，并求 l 与 Π 的交点。 (b) 求点 B(5, 1, 4) 到 Π 的垂直距离。 (c) 求直线 l 与平面 Π 所成的角 θ，答案以 sin θ 表示。 （10 分） |
(a) 代入 A：2(1) − (−1) + 2(3) = 2 + 1 + 6 = 9，故 A 在 Π 上。 把 l 代入 Π：2(3 + t) − (1 − 2t) + 2(2 + 2t) = 6 + 2t − 1 + 2t + 4 + 4t = 9 + 8t。 令 9 + 8t = 9，得 t = 0，交点为 (3, 1, 2)。 (b) 代入 B：2(5) − 1 + 2(4) = 17。法向量长 = √(4 + 1 + 4) = 3。距离 = |17 − 9| / 3 = 8/3。 (c) 设 l 的方向向量 d = (1, −2, 2)，Π 的法向量 n = (2, −1, 2)。 d · n = 2 + 2 + 4 = 8，|d| = |n| = 3，故 sin θ = 8/9（θ ≈ 62.7°）。 评分要点：(a) 证 A 2 分、交点 2 分；(b) 代入与法向量长 2 分、答案 1 分；(c) 点积与模各 1 分、答案 1 分。 |
| 6 | 证明对所有正整数 n，Σ(r = 1 至 n) r 2^r = (n − 1)2^(n+1) + 2。 （10 分） |
当 n = 1：左式 = 1 × 2 = 2，右式 = 0 × 4 + 2 = 2，命题成立。 假设对某正整数 k 成立，即 Σ(r = 1 至 k) r 2^r = (k − 1)2^(k+1) + 2。 则 Σ(r = 1 至 k+1) r 2^r = (k − 1)2^(k+1) + 2 + (k + 1)2^(k+1) = 2^(k+1)[(k − 1) + (k + 1)] + 2 = 2^(k+1)(2k) + 2 = k 2^(k+2) + 2 = ((k + 1) − 1)2^((k+1)+1) + 2，即命题对 n = k + 1 亦成立。 由数学归纳法，命题对所有正整数 n 成立。 评分要点：奠基 2 分、归纳假设 2 分、代入并化简 4 分、结论句 2 分。 |
| 7 | 设 f(x) = √(1 + 2x)。 (a) 求 f′(x)、f″(x) 及 f‴(x)。 (b) 由此求 f(x) 的 Maclaurin 展开式，展开至 x³ 项。 (c) 用 (b) 的展开式估计 √1.2，并求与真值之差（以科学记数法表示）。 （10 分） |
(a) f′(x) = (1 + 2x)^(−1/2)；f″(x) = −(1 + 2x)^(−3/2)；f‴(x) = 3(1 + 2x)^(−5/2)。 故 f(0) = 1、f′(0) = 1、f″(0) = −1、f‴(0) = 3。 (b) Maclaurin 展开：1 + x + (−1)x²/2! + 3x³/3! = 1 + x − x²/2 + x³/2。 (c) 取 x = 0.1：1 + 0.1 − 0.005 + 0.0005 = 1.0955。 真值 √1.2 = 1.095445…，差 = 1.0955 − 1.095445 = 5.5 × 10⁻⁵（约 5.49 × 10⁻⁵）。 评分要点：(a) 每个导数 1 分、四个导数值 1 分；(b) 公式与系数 3 分；(c) 代入 1 分、真值 1 分、差 1 分。 |
| 8 | 极坐标曲线 C 的方程为 r = a(1 + cos θ)，0 ≤ θ ≤ 2π，其中 a > 0。 (a) 证明 C 所围的面积为 (3/2)πa²。 (b) 取 a = 2，求该面积（准确值及 3 位有效数字），并求 θ = π/3 时的 r。 （10 分） |
(a) 面积 = (1/2)∫(0 至 2π) r² dθ = (a²/2)∫(0 至 2π) (1 + cos θ)² dθ。 展开：1 + 2cos θ + cos²θ，而 cos²θ = (1 + cos 2θ)/2。 ∫(0 至 2π) 1 dθ = 2π；∫(0 至 2π) 2cos θ dθ = 0；∫(0 至 2π) cos²θ dθ = π。 总和 = 2π + 0 + π = 3π，故面积 = (a²/2)(3π) = (3/2)πa²。 (b) a = 2：面积 = (3/2)π(4) = 6π ≈ 18.8。 θ = π/3 时 cos θ = 1/2，r = 2(1 + 1/2) = 3。 评分要点：(a) 面积公式 2 分、展开与 cos² 半角 2 分、逐项积分 1 分、结论 1 分；(b) 准确值 2 分、小数 1 分、r = 3 一分。 |
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