CIE A-Level 数学 9709 Paper 1 纯数模拟卷（第二套）｜75 分・1 小时 50 分

AS 纯数操卷

CIE A-Level · 数学 9709 · Paper 1 Pure Mathematics 1（第二套）

资料与常用公式

试题

合共 75 分 · 1 小时 50 分 · 须列出步骤，准确值优先

1. 已知 f(x) = 2x² − 8x + 3。
(i) 将 f(x) 写成 a(x + b)² + c 的形式。
(ii) 由此写出曲线 y = f(x) 的顶点坐标及 f(x) 的最小值。 [5]

2. 在 (1 + 3x)⁶ 的展开式中，按 x 的升幂写出首四项，并写出 x² 项的系数。 [5]

3. 已知 A(−1, 4) 及 B(5, 2)。
(i) 求 AB 的中点 M 及 AB 的长度（以根式表示）。
(ii) 求 AB 的斜率，并由此求通过 B 且垂直于 AB 的直线方程（以 y = mx + k 表示）。 [6]

4. 一扇形的半径为 6 cm，圆心角为 1.2 rad。
(i) 求弧长、周界及扇形面积（面积以 cm² 表示，准至 3 位小数）。
(ii) 求由该扇形与其弦所围成的弓形面积。 [7]

5. 解方程 4 sin²x = 1，其中 0° ≤ x ≤ 360°，答案须准确至度。 [7]

6. 曲线 y = x³ − 6x² + 9x。
(i) 求 dy/dx，并求曲线的驻点。
(ii) 用二阶导数判定各驻点的性质，并写出对应的 y 值。 [7]

7. 计算 ∫₁⁴ (3x² − 4x + 1) dx，并说明结果的几何意义。 [8]

8. (i) 一等差数列首项为 7，公差为 3，求第 20 项及首 20 项之和。
(ii) 一等比数列为 12, 8, 16/3, …，求公比及无穷项之和。 [8]

9. 已知 f(x) = 2x + 3 及 g(x) = x² − 1。
(i) 求 gf(x) 的展开式。
(ii) 求 f⁻¹(x)。
(iii) 解方程 gf(x) = 0。 [8]

10. 相对于原点 O，位置向量 OA = 2i + j，OB = 6i − 5j。
(i) 求向量 AB。
(ii) 求 |AB|（以根式表示）。
(iii) 求与 AB 同方向的单位向量。
(iv) M 为 AB 的中点，求位置向量 OM。 [9]

11. 已知 f(x) = x³ − 4x² + x + 6。
(i) 证明 (x + 1) 是 f(x) 的因式。
(ii) 将 f(x) 完全因式分解，并写出方程 f(x) = 0 的所有根。 [5]

答案与评分要点

Q1（5 分） 二次函数与配方法

(i) f(x) = 2(x² − 4x) + 3 = 2[(x − 2)² − 4] + 3 = 2(x − 2)² − 5（B1 抽 factor 2、M1 完成平方、A1 常数）。
(ii) 顶点 (2, −5)，最小值 −5（A1 顶点、A1 最小值）。验算：f(2) = 8 − 16 + 3 = −5。

Q2（5 分） 二项式定理

(1 + 3x)⁶ = 1 + 6(3x) + 15(3x)² + 20(3x)³ + … = 1 + 18x + 135x² + 540x³ + …（M1 用 ⁶Cᵣ、A1 18x、A1 135x²、A1 540x³）。x² 的系数 = 135。

Q3（6 分） 坐标几何

(i) M = ((−1 + 5)/2, (4 + 2)/2) = (2, 3)（M1 A1）；AB = √(6² + (−2)²) = √40 = 2√10（M1 A1）。
(ii) 斜率 m_AB = (2 − 4)/(5 − (−1)) = −1/3；垂直斜率 = 3；y − 2 = 3(x − 5) → y = 3x − 13（M1 A1）。

Q4（7 分） 弧度法

(i) 弧长 = rθ = 6 × 1.2 = 7.2 cm；周界 = 2(6) + 7.2 = 19.2 cm；面积 = ½ r²θ = ½(36)(1.2) = 21.6 cm²。
(ii) 三角形面积 = ½(36) sin 1.2 = 16.7767 cm²；弓形面积 = 21.6 − 16.7767 = 4.823 cm²（M1 三角形、M1 相减、A1）。

Q5（7 分） 三角方程

sin²x = 1/4 → sin x = ±1/2（M1）。sin x = 1/2：x = 30°, 150°；sin x = −1/2：x = 210°, 330°（A1 A1）。
答案：x = 30°, 150°, 210°, 330°（4 个解齐全才得最后 A1）。

Q6（7 分） 微分

(i) dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)（M1 A1）；驻点 x = 1, 3（A1）。
(ii) d²y/dx² = 6x − 12：x = 1 时 = −6 < 0 → 极大点 (1, 4)；x = 3 时 = 6 > 0 → 极小点 (3, 0)（A1 A1 A1）。

Q7（8 分） 定积分

∫(3x² − 4x + 1) dx = x³ − 2x² + x（M1 A1 A1）。代入上限 4：64 − 32 + 4 = 36；下限 1：1 − 2 + 1 = 0（M1）。积分 = 36 − 0 = 36（A1）。几何意义：曲线 y = 3x² − 4x + 1、x 轴与 x = 1、x = 4 所围的区域面积（A1，因该区间函数为正）。

Q8（8 分） 数列

(i) u₂₀ = 7 + 19(3) = 64（M1 A1）；S₂₀ = 20/2 × (7 + 64) = 10 × 71 = 710（M1 A1）。
(ii) r = 8/12 = 2/3（A1）；S∞ = 12 ÷ (1 − 2/3) = 12 ÷ 1/3 = 36（M1 A1）。

Q9（8 分） 函数

(i) gf(x) = (2x + 3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8（M1 A1 A1）。
(ii) 令 y = 2x + 3 → x = (y − 3)/2，故 f⁻¹(x) = (x − 3)/2（M1 A1）。
(iii) 4x² + 12x + 8 = 0 → x² + 3x + 2 = 0 → (x + 1)(x + 2) = 0 → x = −1 或 x = −2（M1 A1）。

Q10（9 分） 向量

(i) AB = OB − OA = (6 − 2)i + (−5 − 1)j = 4i − 6j（M1 A1）。
(ii) |AB| = √(4² + (−6)²) = √52 = 2√13（≈ 7.211）（M1 A1）。
(iii) 单位向量 = (4i − 6j)/2√13 = (2i − 3j)/√13（M1 A1）。
(iv) OM = (OA + OB)/2 = 4i − 2j（M1 A1）。

Q11（5 分） 多项式与因式定理

(i) f(−1) = (−1)³ − 4(−1)² + (−1) + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0，故 (x + 1) 为因式（M1 A1）。
(ii) 长除或比较系数：f(x) = (x + 1)(x² − 5x + 6) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)（M1 A1）；根为 x = −1, 2, 3（A1）。

课题分布

常见失分

• 配方法漏抽公因数 2，或把 −5 写成 +5（把 2(x − 2)² + 3 − 8 算错）。
• 二项式系数用 ⁶Cᵣ 却忘记乘 3ʳ，或把升幂、降幂次序搞乱。
• 弧度法的 θ 用了度数：θ = 1.2° 而非 1.2 rad；弓形面积忘记先减三角形。
• 解 sin²x = 1/4 只取正根 30°、150°，漏掉 210°、330°。
• 定积分先代下限再代上限，或上下限相减次序反了，令面积变负。
• 向量 AB 写成 OA − OB；单位向量忘记除以 |AB|。

常见问题

这份卷同官方 9709 Paper 1 一样吗？
卷制（75 分、1 小时 50 分、全部必答、可用计算机）依官方 9709 syllabus，题目为本校自拟，并非官方真题，答案与评分要点同 CIE mark scheme 的 M／A 标记方式一致。

点解答案要写分数、根式、π 倍数？
CIE 纯数卷的 A 分要求准确值；写 7.21 这类小数即使数值接近，通常只得 M 分。建议同时写准确值与小数近似值。

适唔适合自修？
适合。先闭卷 110 分钟做完，之后用答案卷逐题对“M1／A1”步骤，错的题目重做一次，并记低系公式、代入还是单位出错。

TutorZone 原创练习卷；答案的 M／A 标记法参照 CIE mark scheme 惯例。

数值全部由程式计算并核对；如发现错误请电邮 tutorzoneee@gmail.com。