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AP 微积分 AB Section II 自由作答模拟卷｜6 题・100 分・1 小时 30 分
练习卷 · AP 微积分 AB Section II
AP 微积分 AB Section II 自由作答模拟卷：6 题、100 分、90 分钟，甲部计算机可用（运动学、相关变率）36 分，乙部（隐函数微分、旋转体体积、微分方程、黎曼和）64 分，附完整步骤与评分要点，适合操卷之用；题目全部原创，并非 College Board 历届试题或官方评卷参考，数值由 Python 计算核对。
卷面资料 年级：中五至中六（AP） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：90 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：6
甲部：计算机可用部分（36 分）
自由作答题：须写出完整解题步骤，只写答案不给分；数值答案须附正确单位及恰当有效数字。全卷 100 分，限时 90 分钟。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 1. 一质点沿直线运动，在 t 秒（t ≥ 0）时距固定点 O 的位移为 s(t) = t³ − 6t² + 9t + 2 米。(a) 求速度 v(t)，并求质点瞬时静止的时刻，须说明理由。（4 分）(b) 求加速度 a(t) 及它为零的时刻。（3 分）(c) 求 t = 0 至 t = 4 期间质点走过的总路程。（5 分）(d) 求 0 ≤ t ≤ 4 的平均速度，并解释为何它与总路程的数值不同。（3 分）(e) 写出速率正在增加的时间区间，并以 v 与 a 的正负号说明理由。（3 分） | 答案：(a) v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3)，故 t = 1 秒及 t = 3 秒时速度为零，质点瞬时静止。(b) a(t) = v′(t) = 6t − 12，t = 2 秒时 a = 0。(c) s(0) = 2、s(1) = 6、s(3) = 2、s(4) = 6；0 至 1 秒走 4 米（正向），1 至 3 秒走 4 米（反向），3 至 4 秒走 4 米（正向），总路程 12 米。(d) 平均速度 = (s(4) − s(0)) ÷ 4 = (6 − 2) ÷ 4 = 1 m s⁻¹；总路程把反向的 4 米亦计作正数，故比位移 4 米大。(e) 速率 = |v|：1 ≤ t ≤ 2 时 v 负、a 负，同号，速率增加；2 ≤ t ≤ 3 时 v 负、a 正，异号，速率减少；3 ≤ t ≤ 4 时 v 正、a 正，同号，速率增加。故速率增加的区间为 1 ≤ t ≤ 2 及 3 ≤ t ≤ 4。 |
| 2 | 2. 一圆锥形水缸尖端向下，缸口半径 4 米、深 8 米，水以每分钟 2 立方米的速率注入。(a) 以相似三角形证明水面半径 r 与水深 h 满足 r = h ÷ 2，并求水深 5 米时水面上升的速率。（5 分）(b) 求水深 4 米时水面上升的速率，并说明为何它比 (a) 的结果大。（4 分）(c) 一把长 13 英尺的梯子斜靠垂直墙壁，梯脚以每秒 2 英尺远离墙壁滑出。求梯脚距墙 5 英尺时，梯顶下滑的速率。（4 分）(d) 在半径 6 的球体内内接一圆柱，求该圆柱的最大体积。（5 分） | 答案：(a) 相似三角形给出 r ÷ h = 4 ÷ 8，故 r = h ÷ 2。体积 V = (1/3)πr²h = πh³ ÷ 12，对 t 求导得 dV/dt = (πh² ÷ 4)(dh/dt)；代入 dV/dt = 2、h = 5，得 dh/dt = 8 ÷ (25π) ≈ 0.1019 m min⁻¹。(b) h = 4 时 dh/dt = 8 ÷ (16π) = 1 ÷ (2π) ≈ 0.1592 m min⁻¹；水面截面积随水深平方增大，水浅时同样注水量令水位升得更快（反而更大）。(c) 设梯脚距墙 x、梯顶高 y，x² + y² = 169；x = 5 时 y = 12。求导：2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0，dy/dt = −(x ÷ y)(dx/dt) = −(5 ÷ 12)(2) = −5/6 ≈ −0.833 ft s⁻¹，即每秒下滑约 0.833 英尺。(d) 设圆柱高 h、半径 r，r² + (h ÷ 2)² = 36，故 V = πr²h = π(36 − h² ÷ 4)h = 36πh − (π ÷ 4)h³。V′ = 36π − (3π ÷ 4)h² = 0 得 h² = 48，h = 4√3 ≈ 6.928，r² = 24。V = 24π(4√3) = 96π√3 ≈ 522.37；因 V″ 在该点为负，此为最大体积。 |
乙部：计算机不可用部分（64 分）
自由作答题：须写出完整解题步骤，只写答案不给分；数值答案须附正确单位及恰当有效数字。全卷 100 分，限时 90 分钟。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 3 | 3. (a) 曲线 x² + xy + y² = 7。以隐函数微分求 dy/dx，并求点 (1, 2) 处的切线方程。（6 分）(b) 求该曲线上所有水平切线的切点坐标（准确值）。（5 分）(c) 设 f(x) = x²e^(−x)，求 f 的极大值点及极大值（准确值，并以三位小数表示）。（4 分）(d) 求 d/dx [ln(x² + 1)] 在 x = 1 的值。（3 分） | 答案：(a) 对 x 求导：2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0，故 dy/dx = −(2x + y) ÷ (x + 2y)。在 (1, 2)：dy/dx = −4 ÷ 5 = −0.8。切线为 y − 2 = −0.8(x − 1)，即 y = 2.8 − 0.8x。(b) 水平切线须 dy/dx = 0，即 2x + y = 0，y = −2x。代入原式：x² − 2x² + 4x² = 3x² = 7，x = ±√(7/3) ≈ ±1.5275，相应 y = ∓3.0551。切点为 (1.5275, −3.0551) 与 (−1.5275, 3.0551)。(c) f′(x) = 2xe^(−x) − x²e^(−x) = xe^(−x)(2 − x)，临界点 x = 0 及 x = 2。f(0) = 0、f(2) = 4e^(−2) ≈ 0.541；f′ 在 0 与 2 之间为正、在 2 之后为负，故 x = 2 为极大值点，极大值 4 ÷ e² ≈ 0.541。(d) d/dx ln(x² + 1) = 2x ÷ (x² + 1)，在 x = 1 时等于 1。 |
| 4 | 4. 设 f(x) = 4 − x²、g(x) = x + 2。(a) 求两曲线的交点，并求由两曲线围成区域的面积（准确值）。（6 分）(b) 该区域绕 x 轴旋转，求旋转体的体积（准确值，并以三位小数表示）。（6 分）(c) 求 f 在 0 ≤ x ≤ 2 上的平均值。（4 分） | 答案：(a) 4 − x² = x + 2 得 x² + x − 2 = 0，故 x = 1 或 x = −2。面积 = ∫(由 −2 到 1)(2 − x − x²)dx = [2x − x²/2 − x³/3] 由 −2 到 1 = 7/6 − (−10/3) = 9/2 = 4.5。(b) 体积 = π∫(由 −2 到 1)[(4 − x²)² − (x + 2)²]dx = π∫(x⁴ − 9x² − 4x + 12)dx = π[x⁵/5 − 3x³ − 2x² + 12x] 由 −2 到 1 = π(36/5 + 72/5) = 108π/5 ≈ 67.858。(c) 平均值 = (1/2)∫(由 0 到 2)(4 − x²)dx = (1/2)(8 − 8/3) = 8/3 ≈ 2.667。 |
| 5 | 5. 微分方程 dy/dx = 2xy，初始条件 y(0) = 3。(a) 以分离变量法求通解及符合初始条件的特解，并求 y(1)（四位小数）。（6 分）(b) 用欧拉法由 x = 0 起以步长 0.5 估算 y(1)，须列出每一步。（5 分）(c) 设 g(x) = ∫(由 0 到 x)(t² − 2t)dt，求 g 在 x ≥ 0 的极小值点及极小值。（5 分） | 答案：(a) dy ÷ y = 2x dx，积分得 ln|y| = x² + C，故 y = Ae^(x²)；由 y(0) = 3 得 A = 3，特解 y = 3e^(x²)，y(1) = 3e ≈ 8.1548。(b) x = 0、y = 3，斜率 2(0)(3) = 0，y(0.5) ≈ 3 + 0.5(0) = 3；斜率 2(0.5)(3) = 3，y(1) ≈ 3 + 0.5(3) = 4.5。欧拉估值 4.5 远低于真值 8.155，因为解曲线向上凸，切线法每步都低估。(c) g′(x) = x² − 2x = x(x − 2)，临界点 x = 0 及 x = 2；g″(2) = 2 为正，故 x = 2 为极小值点，g(2) = 8/3 − 4 = −4/3 ≈ −1.333。 |
| 6 | 6. (a) 求 lim(x → 0) sin(4x) ÷ (5x)。（3 分）(b) 以 n = 4 的右端黎曼和估算 ∫(由 0 到 2)x²dx，求估算值、真值及误差（准确值）。（5 分）(c) 设 f(x) = ax² + b（当 x ≤ 1）及 f(x) = 2x + 3（当 x 大于 1）。求 a、b 使 f 在 x = 1 连续且可微。（3 分）(d) 求 lim(x → ∞) (3x² + 2x) ÷ (x² − 5)。（3 分） | 答案：(a) 用洛必达法则：lim = 4cos(4x) ÷ 5，在 x = 0 时为 4/5 = 0.8（亦可用 sin u ÷ u → 1）。(b) Δx = 0.5，右端点 0.5、1、1.5、2，和 = 0.5(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 3.75；真值 = 8/3 ≈ 2.667；误差 = 15/4 − 8/3 = 13/12 ≈ 1.083（因 x² 递增，右端和为上估）。(c) 连续要求 a + b = 2(1) + 3 = 5；可微要求左导数 2a(1) 等于右导数 2，故 a = 1、b = 4。验证：两边极限均为 5，左右导数均为 2。(d) 分子分母同除 x²：lim = (3 + 2 ÷ x) ÷ (1 − 5 ÷ x²) = 3。 |
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