IGCSE 数学 0580 Paper 2 练习卷（Extended・不准用计算机）｜19 题 100 分附答案详解

题目用英文书写，与实际剑桥试卷一致；评分要点、解题步骤与等级描述用中文说明。

原创 IGCSE 数学 0580 Extended Paper 2 练习卷：2 小时、100 分、不准用计算机，19 题涵盖标准式、百分数、比例尺、根式、二次方程、三角面积、统计表、函数、向量与证明，附答案详解、评分要点与等级描述。

Section A — 短题目（第 1–10 题）

Section A 是短题目，考核基本运算与公式运用，每题 4–5 分，目标是在 50 分钟内完成并保持准确。

1.　Answer all three parts without a calculator.

(a)　Write 0.000 046 in standard form.　（1 分）

(b)　Work out 3/4 + 5/6, giving your answer as a fraction in its simplest form.　（2 分）

(c)　Work out (2.4 × 10⁶) × (5 × 10⁻³), giving your answer in standard form.　（1 分）

2.　A laptop has a normal price of $640. In a sale the price is reduced by 15%.

(a)　Work out the reduction, in dollars.　（1 分）

(b)　Work out the sale price of the laptop.　（1 分）

(c)　After the sale the shop raises the sale price by 10%. Work out the new price and the percentage change from the normal price.　（2 分）

3.　A map is drawn to a scale of 1 : 25 000.

(a)　On the map a road is 6.4 cm long. Work out the real length, in km.　（2 分）

(b)　A field is 1.8 km long. Work out its length on the map, in cm.　（2 分）

(c)　Work out the real area, in m², represented by 1 cm² on the map.　（1 分）

4.　Do not use a calculator.

(a)　Work out 27^(2/3).　（2 分）

(b)　Simplify √50 + √18, giving your answer in the form k√2.　（2 分）

5.　The first four terms of a sequence are 5, 11, 17, 23, …

(a)　Find the nth term of the sequence.　（2 分）

(b)　Find the 40th term.　（1 分）

(c)　Explain whether 200 is a term of this sequence.　（1 分）

6.　Show your working for each part.

(a)　Expand and simplify (2x − 3)(x + 5).　（2 分）

(b)　Factorise completely 6x² − 15x.　（1 分）

(c)　Factorise x² − 9.　（1 分）

7.　Show all your working.

(a)　Solve the simultaneous equations 3x + 2y = 16 and x − y = 2.　（3 分）

(b)　Make x the subject of 5y − 3x = 10.　（2 分）

8.

(a)　Work out the interior angle of a regular pentagon.　（2 分）

(b)　Write down the exterior angle of a regular pentagon.　（1 分）

(c)　The interior angle of a regular polygon is 156°. Work out the number of sides.　（2 分）

9.　All lengths are in cm. Give exact answers where possible.

(a)　A right-angled triangle has hypotenuse 13 cm and one side 5 cm. Work out the third side.　（2 分）

(b)　In a right-angled triangle the hypotenuse is 14 cm and one angle is 30°. Work out the side opposite the 30° angle.　（1 分）

(c)　Work out the side adjacent to the 30° angle in part (b), in the form k√3.　（2 分）

10.　A bag contains 5 red, 3 blue and 2 green counters. All the counters are different. Two counters are taken at random without replacement.

(a)　Write down the probability that the first counter is red.　（1 分）

(b)　Work out the probability that both counters are red.　（2 分）

(c)　Work out the probability that at least one counter is green.　（2 分）

Section B — 长题目（第 11–19 题）

Section B 是长题目，需要写出完整方法，包括二次方程、立体图形、统计表、三角面积、函数、向量与证明。

11.　Show your method for both parts.

(a)　Solve 2x² − 7x + 3 = 0, showing your factorisation.　（3 分）

(b)　Write x² − 6x + 5 in the form (x − a)² + b, and state the coordinates of the minimum point of y = x² − 6x + 5.　（3 分）

12.　The line L passes through A(2, 5) and B(6, 13).

(a)　Work out the gradient of L.　（2 分）

(b)　Find the equation of L in the form y = mx + c.　（2 分）

(c)　Find the x-intercept of L.　（1 分）

(d)　Explain whether the point (10, 21) lies on L.　（1 分）

13.　A closed cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Use π = 22/7.

(a)　Work out the volume of the cylinder, in cm³.　（3 分）

(b)　Work out the curved surface area, in cm².　（2 分）

(c)　Work out the total surface area of the closed cylinder, in cm².　（2 分）

14.　In a sale a bicycle is sold for $272 after a 20% discount.

(a)　Work out the normal price of the bicycle.　（3 分）

(b)　A shop assistant adds 20% to $272 and says this is the normal price. Explain, with figures, why this is wrong.　（3 分）

15.　The table shows the number of goals scored by a football team in each of its matches this season.

(a)　Work out the mean number of goals per match.　（3 分）

(b)　Work out the median number of goals.　（2 分）

(c)　Write down the mode.　（1 分）

(d)　How many matches had 3 or more goals?　（1 分）

每场入球数（x）与场数（f）

16.　Triangle ABC has AB = AC = 8 cm and angle BAC = 60°.

(a)　Show that BC = 8 cm.　（2 分）

(b)　Work out the area of triangle ABC, in the form k√3 cm².　（2 分）

(c)　The triangle is the cross-section of a prism of length 12 cm. Work out the volume of the prism, correct to 3 significant figures.　（3 分）

17.　f(x) = 3x − 2 and g(x) = x² + 1.

(a)　Find f⁻¹(x).　（2 分）

(b)　Work out gf(2).　（2 分）

(c)　Explain whether f(x) = g(x) has any real solutions.　（2 分）

18.　In triangle OAB, OA = a and OB = b. P is the midpoint of OA. Q lies on AB with AQ : QB = 1 : 3.

(a)　Find PQ in terms of a and b, in its simplest form.　（3 分）

(b)　M is the midpoint of AB. Show that PQ is parallel to OM and state the ratio PQ : OM.　（3 分）

19.　Answer both parts.

(a)　Solve the inequality 4 − 3x < 13.　（2 分）

(b)　n is an integer. Prove that n² + n is always an even number.　（2 分）

评分准则（全卷 100 分）

答案、解题步骤与评分要点

Q1 答案　(a) 4.6 × 10⁻⁵　(b) 19/12 (= 1 7/12)　(c) 1.2 × 10⁴

·　(a) 小数点右移五位：0.000 046 = 4.6 × 10⁻⁵。

·　(b) 通分母 12：9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12。

·　(c) 2.4 × 5 = 12，10⁶ × 10⁻³ = 10³，所以 12 × 10³ = 1.2 × 10⁴。

评分要点　(b) 2 分：通分母 12 得 1 分，19/12 得 1 分；答 1.58… 不给分。

Q2 答案　(a) $96　(b) $544　(c) $598.40；较原价低 6.5%（−6.5%）

·　(a) 640 的 10% = 64，5% = 32，所以 15% = 96。

·　(b) 640 − 96 = 544。

·　(c) 544 的 10% = 54.4，新价 598.40。

·　差额 = 598.40 − 640 = −41.60；−41.60 ÷ 640 × 100% = −6.5%。

评分要点　(c) $598.40 得 1 分，−6.5% 得 1 分（写“减少 6.5%”接受）；答 −10% 或 −15% 不给分。

Q3 答案　(a) 1.6 km　(b) 7.2 cm　(c) 62 500 m²（6.25 公顷）

·　(a) 6.4 × 25 000 = 160 000 cm = 1 600 m = 1.6 km。

·　(b) 1.8 km = 180 000 cm；180 000 ÷ 25 000 = 7.2 cm。

·　(c) 面积比例 = 25 000² = 625 000 000，所以 1 cm² 代表 625 000 000 cm² = 62 500 m² = 6.25 公顷。

评分要点　(c) 最常见错误是用 25 000 而非 25 000²；答案单位必须是 m²。

Q4 答案　(a) 9　(b) 8√2

·　(a) 27^(1/3) = 3，再平方得 9。

·　(b) √50 = 5√2，√18 = 3√2，相加得 8√2。

评分要点　(a) 27^(1/3) = 3 得 1 分，9 得 1 分；(b) 化简其中一个根式得 1 分，8√2 得 1 分。

Q5 答案　(a) 6n − 1　(b) 239　(c) 不是；6n − 1 = 200 得 n = 33.5，不是整数

·　(a) 公差 6，设 nth term = 6n + c，代入 n = 1 得 c = −1，即 6n − 1。

·　(b) 6(40) − 1 = 239。

·　(c) 6n − 1 = 200 得 n = 33.5，不是整数，所以 200 不在数列中。

评分要点　(c) 理由要指出 n 不是整数；只写“不是”不给分。

Q6 答案　(a) 2x² + 7x − 15　(b) 3x(2x − 5)　(c) (x − 3)(x + 3)

·　(a) 2x(x + 5) − 3(x + 5) = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15。

·　(b) 公因式 3x：3x(2x − 5)。

·　(c) 平方差：(x − 3)(x + 3)。

评分要点　(a) 未化简前四项正确得 1 分，2x² + 7x − 15 得 1 分；(b) 必须抽 3x，只抽 x 不给分。

Q7 答案　(a) x = 4, y = 2　(b) x = (5y − 10)/3

·　(a) 由 x − y = 2 得 x = y + 2，代入：3(y + 2) + 2y = 16，5y = 10，y = 2，x = 4。验算：3(4) + 2(2) = 16 ✓。

·　(b) 5y − 10 = 3x，所以 x = (5y − 10)/3（或 5y/3 − 10/3）。

评分要点　(a) 代入或消元正确得 1 分，y = 2 得 1 分，x = 4 得 1 分；(b) 整理出 3x 得 1 分，整式除 3 得 1 分。

Q8 答案　(a) 108°　(b) 72°　(c) 15 边

·　(a) 内角和 = (5 − 2) × 180° = 540°，每个内角 = 540° ÷ 5 = 108°。

·　(b) 180° − 108° = 72°（或 360° ÷ 5）。

·　(c) 外角 = 180° − 156° = 24°，360° ÷ 24° = 15 边。

评分要点　(c) 用外角最稳；直接用 156° 去除 360° 不给分。

Q9 答案　(a) 12 cm　(b) 7 cm　(c) 7√3 cm（≈ 12.1 cm）

·　(a) √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12。

·　(b) sin 30° = 1/2，对边 = 14 × 1/2 = 7。

·　(c) cos 30° = √3/2，邻边 = 14 × √3/2 = 7√3 ≈ 12.1。

评分要点　(c) 本卷不准用计算机，必须写根式；若同时写出根式，可接受 12.1。

Q10 答案　(a) 1/2　(b) 2/9　(c) 17/45（≈ 0.378）

·　(a) 10 个之中有 5 个红，即 1/2。

·　(b) 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9。

·　(c) P(无绿) = 8/10 × 7/9 = 56/90 = 28/45，所以 P(至少一个绿) = 1 − 28/45 = 17/45 ≈ 0.378。

评分要点　(b) 第二次要抽 4/9；两次都用 5/10 只给 1 分。

Q11 答案　(a) x = 3 或 x = 1/2　(b) (x − 3)² − 4；最低点 (3, −4)

·　(a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，所以 x = 1/2 或 x = 3。

·　(b) x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4，即 a = 3、b = −4。

·　平方项不小于 0，所以 x = 3 时取最小值 −4，最低点 (3, −4)。

评分要点　(a) 正确因式得 1 分，每个根各 1 分；(b) (x − 3)² − 4 得 2 分，座标得 1 分。

Q12 答案　(a) 2　(b) y = 2x + 1　(c) x = −1/2　(d) 在线上是（21 = 2×10 + 1）

·　(a) (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2。

·　(b) 5 = 2(2) + c 得 c = 1，即 y = 2x + 1。

·　(c) 0 = 2x + 1 得 x = −1/2。

·　(d) 2(10) + 1 = 21，所以 (10, 21) 在 L 上。

评分要点　(d) 要写出代入过程；只写“是”不给分。

Q13 答案　(a) 1 540 cm³　(b) 440 cm²　(c) 748 cm²

·　(a) πr²h = 22/7 × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1 540 cm³。

·　(b) 2πrh = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm²。

·　(c) 两个圆面：2 × 154 = 308，总表面积 = 440 + 308 = 748 cm²。

评分要点　(a) 代入 πr²h 得 1 分，22/7 × 49 = 154 得 1 分，1 540 得 1 分；(c) 两个圆底要计两次。

Q14 答案　(a) $340　(b) 272 × 1.2 = $326.40 ≠ $340；因 20% 的基数不同（$68 对 $54.40）

·　(a) 272 是原价的 80%，1% = 3.40，100% = $340。验算：340 × 0.8 = 272 ✓。

·　(b) 272 的 20% 是 54.40，加得 326.40；但 340 的 20% 是 68。两者的百分数基数不同，所以加 20% 不能抵销减 20%。

评分要点　(a) 应除以 0.8（或先除 80 再乘 100）；272 × 1.2 不给分。(b) 两个数字都对得 2 分，指出“基数不同”得 1 分。

Q15 答案　(a) 5/3 ≈ 1.67　(b) 2　(c) 2　(d) 5 场

·　(a) Σf = 30，Σfx = 0 + 9 + 24 + 9 + 8 = 50，平均 = 50 ÷ 30 = 5/3 ≈ 1.67。

·　(b) 第 15、16 个值都落在“2 球”一行（累积 4、13、25、28、30），中位数 = 2。

·　(c) 最高频数 12 对应 2 球，众数 = 2。

·　(d) 3 + 2 = 5 场。

评分要点　(a) Σfx = 50 与 Σf = 30 得 2 分，5/3（接受 1.67）得 1 分；误除以 5（行数）不给分。

Q16 答案　(a) BC² = 64，BC = 8 cm　(b) 16√3 cm²（≈ 27.7）　(c) 192√3 ≈ 333 cm³

·　(a) BC² = 8² + 8² − 2(8)(8)cos 60° = 64 + 64 − 64 = 64，所以 BC = 8 cm（三角形是等边三角形）。

·　(b) 面积 = ½ × 8 × 8 × sin 60° = 32 × √3/2 = 16√3 ≈ 27.7 cm²。

·　(c) 体积 = 16√3 × 12 = 192√3 ≈ 332.55 ≈ 333 cm³。

评分要点　(a) 应用余弦定理并代入 cos 60° = 1/2；”show that” 题必须写过程。(c) 192√3 得 2 分，取 3 位有效数字得 1 分。

Q17 答案　(a) f⁻¹(x) = (x + 2)/3　(b) 17　(c) 无实数解（判别式 −3 < 0）

·　(a) y = 3x − 2，x = (y + 2)/3，所以 f⁻¹(x) = (x + 2)/3。

·　(b) f(2) = 4，g(4) = 17。

·　(c) 3x − 2 = x² + 1 得 x² − 3x + 3 = 0。判别式 9 − 12 = −3 < 0，所以无实数解。

评分要点　(b) gf 即 g(f(x))，先做 f；答 37 不给分。(c) 要算出判别式并解释。

Q18 答案　(a) PQ = ¼a + ¼b　(b) OM = ½(a + b)，PQ = ½OM，故平行；PQ : OM = 1 : 2

·　(a) OP = ½a，OQ = a + ¼(b − a) = ¾a + ¼b，所以 PQ = OQ − OP = ¼a + ¼b。

·　(b) OM = ½(a + b) = ½a + ½b。因 PQ = ½OM，两向量平行，且 PQ : OM = 1 : 2。

评分要点　(a) OQ 得 1 分，相减得 1 分，¼a + ¼b 得 1 分；(b) 证明平行要指出纯量倍数 ½。

Q19 答案　(a) x > −3　(b) n² + n = n(n + 1)，n 与 n + 1 必有一个是偶数，故积为偶数

·　(a) 4 − 3x < 13 得 −3x < 9；除以 −3 要变号，所以 x > −3。

·　(b) n² + n = n(n + 1)，是两个连续整数之积。两者必有一个是偶数，所以积是偶数。

评分要点　(a) −3x < 9 得 1 分，x > −3 得 1 分（写 x < −3 不给分）。(b) 要写出因式分解与“连续整数”的论证。

等级描述（全卷 100 分）

时间分配建议（全卷 120 分钟）

注意事项

•　本卷为 2 小时、100 分、不准使用计算机，与剑桥 IGCSE 数学 0580 Extended Paper 2 的考制一致；题目全部原创，并非剑桥历届试题。

•　全卷 19 题，总分 100 分；每题旁的分数就是该部分可得的分数，分数越高的部分通常需要越多步骤。

•　不准用计算机，所以答案应尽量写成整数、分数或根式；若题目要求有效数字，请写明取位（例如 333 cm³）。

•　长题目（第 11–19 题）要写出方法步骤，只有答案不给方法分。

•　圆柱题用 π = 22/7；三角比的精确值（sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2）要背。

•　建议先做 Section A，把较难的 Section B 留到有足够时间时处理。

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