DSE M2 模擬試卷（2027 年考期）：卷一卷制 100%、150 分鐘，8 短題＋3 長題附答案

第 1 題

= 3 + i − 6i − 2i²（3 分）= 3 − 5i + 2 = 5 − 5i（2 分）。

第 2 題

log₂ [x(x − 2)] = 3 → x(x − 2) = 8（3 分）→ x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0；x 必須大於 2，故 x = 4（3 分）。

第 3 題

A² = [[2×2 + 1×0, 2×1 + 1×3], [0×2 + 3×0, 0×1 + 3×3]] = [[4, 5], [0, 9]]（6 分）。

第 4 題

(a) a·b = 2 − 2 − 3 = −3（3 分）；(b) |a| = √(4 + 1 + 9) = √14（3 分）。

第 5 題

(2sinθ + 1)(sinθ − 1) = 0（3 分）→ sinθ = 1 或 sinθ = −1/2；θ = π/2、7π/6、11π/6（4 分）。

第 6 題

= lim (sin 3x)/(3x) × 3（4 分）= 1 × 3 = 3（3 分）。

第 7 題

用乘積法則：dy/dx = 3x²e^x + x³e^x = x²e^x(3 + x)（7 分）。

第 8 題

①基礎：n = 1 時左 = 1、右 = 1×2/2 = 1，成立（2 分）。②假設：設 n = k 時成立，即 1 + … + k = k(k+1)/2（2 分）。③推導：1 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，即 n = k+1 時亦成立（2 分）。④結論：由數學歸納法，命題對所有正整數 n 成立（1 分）。

第 1 題

(a) 消去法：由第一式 y = 7 − 2x 代入第二式 → x + 21 − 6x = 11 → −5x = −10 → x = 2，y = 3，故 x = 2、y = 3（8 分）；(b) det = 2×3 − 1×1 = 5（5 分）；(c) 行列式不為零表示兩直線不平行，方程組有唯一解（矩陣可逆）（4 分）。

第 2 題

(a) 設 u = x、dv = e^xdx → du = dx、v = e^x（4 分）；∫x e^xdx = x e^x − ∫e^xdx = x e^x − e^x（6 分）；代入 0 與 1：(e − e) − (0 − 1) = 1（4 分）；(b) 公式 ∫u dv = uv − ∫v du（1 分）；(c) 一般原則是選 u 為求導後變簡單的部分（例如多項式、對數），dv 為易於積分的部分（2 分）。

第 3 題

(a) a·b = −3、|a| = √14、|b| = √6（4 分）；cosθ = −3 ÷ √84 = −0.3273（5 分）→ θ ≈ 109.1°（4 分）；(b) 純量積為負代表夾角大於 90°（鈍角），兩向量方向大致相反（2 分）；(c) 垂直時純量積 = 0（1 分）。