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DSE M1 模擬試卷（2027 年考期）：卷一卷制 100%、150 分鐘，8 短題＋3 長題附答案
TUTORZONE 原創模擬試卷 · DSE 數學延伸部分 單元一 微積分與統計
依考評局 2027 年評核大綱編寫：數學延伸部分單元一 微積分與統計只有一卷、佔全科 100%、時間 2 小時 30 分鐘，甲部 50 分（8–12 條短題）、乙部 50 分（3–5 條長題），全部必答，並提供統計表。本卷 8 題短題＋3 題長題，配逐題答案與評分要點。
問：DSE M1（微積分與統計）考什麼、佔多少？
直接答案：數學延伸部分單元一（M1）只有一卷，佔全科 100%、時間 2 小時 30 分鐘，全部必答：甲部 50 分（8–12 條短題）、乙部 50 分（3–5 條長題），並提供統計表。M1 不設校本評核。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| 甲部（短題） | 8–12 條短題，共 50 分 | 50 | 約 60–70 分鐘 |
| 乙部（長題） | 3–5 條長題，共 50 分 | 50 | 約 70–80 分鐘 |
| 考試工具 | 提供統計表（分佈表）；可使用計算機 | — | — |
150 分鐘：甲部約 60–70 分鐘、乙部約 70–80 分鐘。M1 的分數集中在「模型—代入—答案」，分佈題一定要寫出 X ~ B(n, p) 等記號，否則即使答案對也可能不給分。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創模擬試卷：題目按 2027 年考期評核大綱的卷制（單卷 100%、2 小時 30 分鐘、甲部 50 分、乙部 50 分）自行編寫，答案與評分要點均為自行演算，並非考評局歷屆試題或官方評卷參考。
考評局並未公布固定題數，所以本卷自行設定 8 題短題＋3 題長題；所有數值答案已用程式覆核（包括二項、常態、幾何分佈的概率）。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| 甲部（短題） | 50 | 約 60–70 分鐘 | 微分、積分、二項展開要反射式完成 |
| 乙部（長題） | 50 | 約 70–80 分鐘 | 先寫公式再代入；單位與有效數字要齊 |
| 考試工具 | — | 查表前先確認自由度與分佈類型 | 分佈題寫清 X 的分佈與參數 |
問：150 分鐘怎樣分配？
直接答案：建議 甲部 60–70 分鐘、乙部 70–80 分鐘。甲部要「見到就寫」；乙部先寫公式與分佈記號（例如 X ~ B(n, p)），再代入，最後寫答案與有效數字。
甲部：短題（8 題，共 50 分）
建議 60–70 分鐘。微分與積分題先寫公式。
第 1 題 （5 分）
設 y = 3x³ − 2x + 5。(a) 求 dy/dx；(b) 求 x = −1 時的 dy/dx。
第 2 題 （6 分）
計算 ∫₀² (6x² − 4x + 1) dx。
第 3 題 （6 分）
求 (1 + 2x)⁶ 展開式中 x³ 的係數。
第 4 題 （6 分）
某放射性物質的半衰期為 20 年。現有 80 mg，求 60 年後剩餘的質量。
第 5 題 （6 分）
設 X ~ B(10, 0.3)。求 P(X = 3)（準確至 4 位小數）。
第 6 題 （7 分）
設常態分佈 X ~ N(60, 8²)。求 P(X > 76)。
第 7 題 （7 分）
設幾何分佈 X 的成功概率 p = 0.2。求 P(X = 4)。
第 8 題 （7 分）
求函數 y = x² − 6x + 5 的極小點及其極小值。
乙部：長題（3 題，共 50 分）
建議 70–80 分鐘。分佈題要寫出 X ~ B(n, p) 等記號，並寫明所用公式。
第 1 題 （17 分）
某水箱的水量 V（升）隨時間 t（年）變化：V = 100(1 − e−0.05t)。
(a) 求當 t → ∞ 時 V 的極限值；(b) 求 t = 10 時的水量（3 位有效數字）；(c) 求 dV/dt，並求 t = 10 時的變化率（3 位有效數字）；(d) 解釋 (c) 的數值在減少還是增加，並說明原因。
第 2 題 （17 分）
某機器生產的次品率為 5%，隨機抽出 20 件。
(a) 寫出合適的分佈並說明理由；(b) 求恰有 2 件次品的概率（4 位小數）；(c) 求至少有 1 件次品的概率（4 位小數）；(d) 若改為抽 40 件，為何以近似分佈計算較方便？
第 3 題 （16 分）
曲線 y = 4 − x² 與 x 軸圍成一個區域。
(a) 求兩者的交點；(b) 求該區域的面積；(c) 說明為何計算面積時不需要把結果取負值處理。
問：答案在哪裡？有步驟嗎？
直接答案：每題之後都有「答案與評分要點」，寫出公式、代入、答案與該步分數（例如常態分佈題：z 值 3 分、查表 4 分），長題更會分拆 (a)(b)(c)(d) 逐項比分。
甲部答案與評分要點
第 1 題
(a) dy/dx = 9x² − 2（3 分）；(b) 9(−1)² − 2 = 7（2 分）。
第 2 題
原函數 = 2x³ − 2x² + x（3 分）；代入 2：16 − 8 + 2 = 10；代入 0：0 → 10（3 分）。
第 3 題
一般項 = C(6,r)(2x)ʳ；r = 3 → C(6,3) × 2³ = 20 × 8 = 160（6 分）。
第 4 題
60 年 = 3 個半衰期（3 分）；80 × (1/2)³ = 10 mg（3 分）。
第 5 題
P = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷（3 分）= 0.2668（3 分）。
第 6 題
z = (76 − 60) ÷ 8 = 2（3 分）；查表 P(Z > 2) = 0.0228（4 分）。
第 7 題
P(X = 4) = (0.8)³ × 0.2（4 分）= 0.1024（3 分）。
第 8 題
dy/dx = 2x − 6 = 0 → x = 3（3 分）；y = 9 − 18 + 5 = −4（3 分）；故極小點為 (3, −4)（1 分）。
乙部答案與評分要點
第 1 題
(a) 當 t → ∞，e−0.05t → 0，故 V → 100 升（3 分）；(b) V = 100(1 − e−0.5) = 100(1 − 0.6065) = 39.3 升（4 分）；(c) dV/dt = 100 × 0.05 e−0.05t = 5e−0.05t（5 分）；t = 10 → 5 × 0.6065 = 3.03 升／年（3 分）；(d) 變化率正在減少，因為 e−0.05t 隨 t 下降，dV/dt 亦隨之下降（趨向 0）（2 分）。
第 2 題
(a) 二項分佈 B(20, 0.05)（3 分）——固定次數、每次獨立、只有成功／失敗兩種結果且概率固定（2 分）；(b) C(20,2)(0.05)²(0.95)¹⁸ = 0.1887（5 分）；(c) 1 − 0.95²⁰ = 0.6415（4 分）；(d) 當 n 大而 p 小，可用 泊松分佈（λ = np = 2）近似，計算較簡單（3 分）。
第 3 題
(a) 4 − x² = 0 → x = ±2，交點為 (−2, 0) 與 (2, 0)（4 分）；(b) 面積 = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67（8 分）；(c) 因為在 −2 至 2 之間曲線全部在 x 軸之上（4 − x² > 0），定積分本身已為正值，無需分段取絕對值（4 分）。
問：M1 最容易失分的地方在哪裡？
直接答案：①分佈題不寫記號與參數；②常態分佈不寫 z 的計算；③定積分漏上下限；④幾何分佈與二項分佈公式互換。這四項都是「答案對但格式不足」的失分。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 分佈題不寫記號 | 直接寫概率數字 | 題目要求寫出分佈與參數，否則扣分 | 先寫 X ~ B(20, 0.05)，再寫 P(X = 2) = … |
| 忘記轉換 z 值 | 直接查表而不用標準化 | 常態分佈題必須寫出 z 的計算 | 寫 z = (x − μ) ÷ σ 再查表 |
| 定積分漏上下限 | 只寫原函數 | 定積分要代入上下限並相減 | 寫 [F(x)] 之後即刻代入兩個邊界 |
| 幾何分佈與二項分佈混淆 | 兩者公式互換 | 幾何分佈是「第幾次才成功」，二項是「n 次中成功幾次」 | 先判斷題目問邊一種再落公式 |
怎樣用這份卷
第一次做：關掉參考資料（只留統計表）、完整計時 150 分鐘。
對答案：分佈題逐項核對記號、參數、公式、答案四項。
第二次做：三至七日後重做，目標 120 分鐘內完成並把所有記號寫齊。
問：做完這份卷之後應該做什麼？
直接答案：①把微分、積分、二項展開練到反射；②把三種分佈（二項、幾何、常態）的公式與記號寫成一頁；③按課題補做歷屆試題；④三至七日後重做本卷，目標 120 分鐘內完成。
常見問題 FAQ
這份卷同考評局試題有關嗎？
沒有。題目、答案與評分要點都是 TutorZone 原創；只有卷制數字（100%、2 小時 30 分鐘、甲 50 分／乙 50 分）取自考評局 2027 年評核大綱。
M1 有校本評核嗎？
沒有。數學延伸部分只有公開試一卷，佔 100%。
考試時提供統計表嗎？
是。M1 試卷附統計表（分佈表），可用計算機；查表時要確認自由度與分佈類型。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| 考評局《2027 年香港中學文憑考試數學科評核大綱》（含延伸部分） | 核對 M1 單卷 100%／2 小時 30 分鐘、甲 50 分／乙 50 分與題數範圍 |
| https://www.tutorzone.com.hk/dse-m1-paper-drill-guide/ | DSE M1 操卷攻略：時間分配與分佈題寫法 |
