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DSE 數學（延伸單元一）練習卷：微積分與統計
練習卷 · DSE 數學 M1 微積分與統計全卷
本卷 12 題、100 分、75 分鐘，涵蓋多項式、對數與指數函數的微分、切線與變化率、極值應用、定積分與曲線下面積、梯形法則，以及二項、正態與泊松分佈和置信區間；所有數值由程式逐項驗算，適合中六文憑試數學延伸單元一考生計時練習。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部（Q1–Q4）：微分法及其應用（32 分）
微分法：多項式、對數與指數函數求導，切線、變化率與極值應用。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | （微分・鏈式法則）設 y = (3x² + 1)⁴。(a) 求 dy/dx。(b) 求曲線在 x = 1 處的切線方程，並以 y = mx + c 的形式表示。 | 答案：(a) 設 u = 3x² + 1，則 y = u⁴，dy/du = 4u³，du/dx = 6x，故 dy/dx = 24x(3x² + 1)³。[4 分] (b) x = 1 時 y = 4⁴ = 256，斜率 = 24(1)(4)³ = 1536，故切線為 y − 256 = 1536(x − 1)，即 y = 1536x − 1280。[4 分] |
| 2 | （微分・對數函數）設 y = x² ln x，其中 x 大於 0。(a) 求 dy/dx，並化簡為 x(2 ln x + 1)。(b) 求曲線在 x = e 處的切線斜率，答案以 e 表示，並取三位小數。 | 答案：(a) 由積法則 dy/dx = 2x ln x + x²(1/x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1)。[4 分] (b) x = e 時 y = e² ≈ 7.389，斜率 = e(2 + 1) = 3e ≈ 8.155。[4 分] |
| 3 | （變化率）球形氣球的體積 V 以每秒 50 cm³ 的速率增加，已知 V = (4/3)πr³。(a) 求當 r = 5 cm 時半徑的增加率 dr/dt。(b) 求同一時刻表面面積 A = 4πr² 的增加率 dA/dt。(c) 說明氣球繼續膨脹時 dr/dt 會增加還是減少，並簡述理由。 | 答案：(a) dV/dr = 4πr²，r = 5 時為 100π，故 dr/dt = 50/(100π) ≈ 0.159 cm/s。[3 分] (b) dA/dt = 8πr(dr/dt) = 8π(5)(0.159) = 20 cm²/s。[2 分] (c) dr/dt = 50/(4πr²)，r 增加令分母變大，故 dr/dt 減少。[3 分] |
| 4 | （極值應用）一個無蓋長方體箱底部為正方形，體積固定為 32 m³。設底部邊長 x m、高 h m。(a) 以 x 表示 h。(b) 證明表面面積 S = x² + 128/x，並求使 S 最小的 x。(c) 求最小表面面積。 | 答案：(a) x²h = 32，故 h = 32/x²。[3 分] (b) S = x² + 4xh = x² + 128/x；dS/dx = 2x − 128/x² = 0 得 x³ = 64，即 x = 4；d²S/dx² = 2 + 256/x³，x = 4 時為 6 大於 0，故為極小。[3 分] (c) h = 2，S = 16 + 32 = 48 m²。[2 分] |
乙部（Q5–Q8）：積分法、面積與梯形法則（36 分）
積分法：原函數、定積分、曲線下面積與梯形法則。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | （定積分）計算 ∫₁³ (3x² − 4x + 5) dx，並寫出所用的原函數。 | 答案：原函數 F(x) = x³ − 2x² + 5x。[4 分]；F(3) = 27 − 18 + 15 = 24，F(1) = 1 − 2 + 5 = 4，故積分值 = 24 − 4 = 20。[5 分] |
| 6 | （定積分・對數）計算 ∫₁ᵉ (1/x + 2) dx。(a) 先寫出原函數。(b) 求積分值，答案以 e 表示並取三位小數。 | 答案：(a) 原函數為 ln x + 2x。[4 分] (b) (ln e + 2e) − (0 + 2) = 1 + 2e − 2 = 2e − 1 ≈ 4.437。[5 分] |
| 7 | （曲線下面積）曲線 y = x² − 4x + 3 與 x 軸交於 A、B 兩點。(a) 求 A、B 的 x 坐標。(b) 求曲線與 x 軸所圍區域的面積。(c) 說明為何直接計算 ∫₁³ (x² − 4x + 3) dx 會得出負值。 | 答案：(a) x² − 4x + 3 = 0，即 (x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1 與 x = 3。[3 分] (b) 原函數 x³/3 − 2x² + 3x，(9 − 18 + 9) − (1/3 − 2 + 3) = −4/3，面積取絕對值 4/3 ≈ 1.333 平方單位。[4 分] (c) 該段曲線位於 x 軸下方，定積分帶負號，面積須取絕對值，故直接計算只得負值。[2 分] |
| 8 | （梯形法則）設 f(x) = eˣ。用 4 個等寬子區間，以梯形法則估算 ∫₀¹ eˣ dx。(a) 寫出 h 及分點 x₀ 至 x₄。(b) 求估算值（五位小數）。(c) 與準確值 e − 1 比較，求絕對誤差，並說明估算偏高還是偏低。 | 答案：(a) h = 0.25，分點為 0、0.25、0.5、0.75、1。[3 分] (b) T = (0.25/2)[1 + e + 2(e^0.25 + e^0.5 + e^0.75)] ≈ 1.72722。[3 分] (c) 準確值為 1.71828，絕對誤差約 0.00894；估算偏高，因 eˣ 為凸函數，各弦位於曲線之上。[3 分] |
丙部（Q9–Q12）：概率分佈與統計推論（32 分）
統計：二項、正態與泊松分佈，標準誤與置信區間。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | （二項分佈）設 X ~ B(10, 0.3)。(a) 求 E(X) 與 Var(X)。(b) 求 P(X = 3)（四位小數）。(c) 求 P(X ≥ 1)（四位小數）。 | 答案：(a) E(X) = np = 3，Var(X) = np(1 − p) = 2.1。[3 分] (b) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0823543 ≈ 0.2668。[3 分] (c) P(X ≥ 1) = 1 − 0.7¹⁰ = 1 − 0.0282475 ≈ 0.9718。[2 分] |
| 10 | （正態分佈）設 X ~ N(50, 8²)。(a) 求 P(X 大於 62)。(b) 求 k 使 P(X 小於 k) = 0.9（三位小數）。(c) 說明為何 P(42 ≤ X ≤ 58) 約為 0.68。 | 答案：(a) z = (62 − 50)/8 = 1.5，P(X 大於 62) = 1 − Φ(1.5) ≈ 0.0668。[3 分] (b) Φ(z) = 0.9 得 z ≈ 1.2816，故 k = 50 + 8(1.2816) ≈ 60.252。[3 分] (c) 42 與 58 分別距平均值一個標準差，正態分佈在正負一個標準差內約佔 68.27%。[2 分] |
| 11 | （泊松近似）某工廠每件產品有 1% 機會有瑕疵，各件獨立。現抽取 200 件，以泊松分佈近似計算：(a) 參數 λ；(b) 沒有瑕疵品的概率；(c) 至少兩件瑕疵品的概率。概率取四位小數。 | 答案：(a) λ = 200 × 0.01 = 2。[2 分] (b) P(X = 0) = e⁻² ≈ 0.1353。[3 分] (c) P(X ≥ 2) = 1 − e⁻²(1 + 2) = 1 − 0.4060 ≈ 0.5940。[3 分] |
| 12 | （置信區間）某品牌咖啡每包淨重量呈正態分佈，標準差 12 克。隨機抽取 64 包，樣本平均重量 42 克。(a) 求樣本平均值的標準誤。(b) 求母體平均重量的 95% 置信區間。(c) 若樣本數增至 144，區間寬度變為原來的多少倍？ | 答案：(a) 標準誤 = 12/√64 = 1.5 克。[2 分] (b) 42 ± 1.96(1.5) = 42 ± 2.94，即 (39.06, 44.94) 克。[3 分] (c) 新標準誤 = 12/12 = 1，寬度比 = 1/1.5 = 2/3，即縮窄至原來的三分之二。[3 分] |
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