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DSE 數學 M1（微積分與統計）模擬卷（10 題・100 分・2 小時 15 分）
練習卷 · DSE 數學 M1
DSE 數學延伸部分單元一 M1 模擬卷：10 題、100 分、限時 2 小時 15 分，涵蓋二項分佈與泊松分佈、正態分佈與標準分、微分求極值與拐點、定積分求面積、梯形法則、條件概率、置信區間與樣本數、線性回歸與相關係數、離散隨機變數的期望與方差。所有題目均為原創，附逐步答案與評分要點。
卷面資料 年級：中六（DSE 延伸部分單元一 M1） ｜ 科目：數學（M1） ｜ 時限：135 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：10
甲部（第 1 至 5 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷可用計算機，惟計算機不得附有圖表顯示或符號運算功能。計算題須展示步驟，數值答案取三位有效數字（另有指明者除外），並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 某電子零件廠的生產線每件產品有 12% 機會出現瑕疵，各件產品是否出現瑕疵互相獨立。現從生產線隨機抽出 10 件產品，設 X 為其中出現瑕疵的件數。 (a) 說明為何 X 可視為二項分佈，並寫出 X 的分佈。 (b) 求恰好有 2 件瑕疵品的概率（取四位小數）。 (c) 求至少有一件瑕疵品的概率（取四位小數）。 (d) 求 X 的平均值與方差。 |
(a) 每次抽驗只有「有瑕疵」與「無瑕疵」兩個結果，成功的概率固定為 0.12，各件產品互相獨立，抽驗件數固定為 10，故 X 服從二項分佈：X ～ B(10, 0.12)。 (b) P(X ＝ 2) ＝ C(10,2) × 0.12² × 0.88⁸ ＝ 45 × 0.0144 × 0.359635 ＝ 0.2330。 (c) P(X ≥ 1) ＝ 1 − P(X ＝ 0) ＝ 1 − 0.88¹⁰ ＝ 1 − 0.2785 ＝ 0.7215。 (d) 平均值 E(X) ＝ np ＝ 10 × 0.12 ＝ 1.2；方差 Var(X) ＝ np(1 − p) ＝ 10 × 0.12 × 0.88 ＝ 1.056。 評分要點：(a) 2 分（說明兩個結果、固定概率、獨立、固定次數）、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分。 |
| 2 | 某電話支援中心在繁忙時段平均每 5 分鐘接到 3.2 個來電，來電的出現可視為隨機且互相獨立。設 Y 為某 5 分鐘時段內接到的來電數目。 (a) 寫出 Y 的分佈及其參數，並列出使用泊松分佈所需的兩個假設。 (b) 求某 5 分鐘內完全沒有來電的概率（取三位小數）。 (c) 求某 5 分鐘內最多接到 2 個來電的概率（取三位小數）。 (d) 求某 5 分鐘內接到 3 個或以上來電的概率。 (e) 求某 10 分鐘時段內平均接到的來電數目，並說明為何 10 分鐘的來電數目仍可用泊松分佈描述。 |
(a) Y ～ Po(3.2)。假設：來電在時段內均勻地隨機出現（發生率固定）；不同時段的來電數目互相獨立。 (b) P(Y ＝ 0) ＝ e^(−3.2) ＝ 0.041。 (c) P(Y ≤ 2) ＝ e^(−3.2)(1 ＋ 3.2 ＋ 3.2²/2) ＝ 0.380。 (d) P(Y ≥ 3) ＝ 1 − P(Y ≤ 2) ＝ 1 − 0.380 ＝ 0.620。 (e) 10 分鐘的平均來電數目 ＝ 3.2 × 2 ＝ 6.4 個；泊松分佈的參數與時段長度成正比，而「獨立」與「均勻發生率」兩個條件在較長的固定時段內仍然成立，故仍可用 Po(6.4) 描述。 評分要點：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 1 分、(e) 2 分。 |
| 3 | 某校中六學生在某科的模擬考試成績 X 近似正態分佈，平均值 62 分，標準差 8 分。已知標準正態分佈 Φ(1) ＝ 0.8413、Φ(−1) ＝ 0.1587、Φ⁻¹(0.90) ＝ 1.2816。 (a) 求成績高於 70 分的學生比例。 (b) 求成績介乎 54 分與 70 分之間的學生比例。 (c) 成績最高的 10% 學生可獲獎學金，求最低可獲獎學金的分數（取一位小數）。 (d) 若該校有 240 名考生，估計成績低於 54 分的人數。 (e) 說明為何在 (d) 中只能作「估計」而不能得出確實人數。 |
(a) z ＝ (70 − 62) ÷ 8 ＝ 1，P(X > 70) ＝ 1 − 0.8413 ＝ 0.1587，即約 15.87％。 (b) z(54) ＝ (54 − 62) ÷ 8 ＝ −1，z(70) ＝ 1；P(54 ＜ X ＜ 70) ＝ 0.8413 − 0.1587 ＝ 0.6826，即約 68.26％。 (c) 設分數為 s，則 P(X > s) ＝ 0.10，即 z ＝ 1.2816；s ＝ 62 ＋ 1.2816 × 8 ＝ 72.3 分。 (d) P(X ＜ 54) ＝ 0.1587，估計人數 ＝ 240 × 0.1587 ＝ 38.1，約 38 人。 (e) 成績只是「近似」正態分佈，實際分佈與模型有偏差；而且 240 人只是有限樣本，真正的比例是未知的固定值，用概率乘以人數只得到期望值，所以只能視為估計。 評分要點：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 4 | 設 f(x) ＝ x³ − 6x² ＋ 9x ＋ 2。 (a) 求 f′(x) 及 f″(x)。 (b) 解 f′(x) ＝ 0，求曲線 y ＝ f(x) 的所有駐點坐標。 (c) 用二階導數測試判斷各駐點是極大點還是極小點，並寫出對應的極值。 (d) 求曲線的拐點（反曲點）坐標，並說明該點是否為極值點。 (e) 求曲線在 x ＝ 0 處的切線方程，並描述 f 在區間 [0, 3] 上的增減情況。 |
(a) f′(x) ＝ 3x² − 12x ＋ 9；f″(x) ＝ 6x − 12。 (b) 3x² − 12x ＋ 9 ＝ 0，即 3(x − 1)(x − 3) ＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝ 3。對應 f(1) ＝ 1 − 6 ＋ 9 ＋ 2 ＝ 6，f(3) ＝ 27 − 54 ＋ 27 ＋ 2 ＝ 2，故駐點為 (1, 6) 與 (3, 2)。 (c) f″(1) ＝ 6 − 12 ＝ −6 ＜ 0，故 (1, 6) 為極大點，極大值 6；f″(3) ＝ 18 − 12 ＝ 6 > 0，故 (3, 2) 為極小點，極小值 2。 (d) f″(x) ＝ 0 得 x ＝ 2，f(2) ＝ 8 − 24 ＋ 18 ＋ 2 ＝ 4，故拐點為 (2, 4)。因 f′ 在 x ＝ 2 附近仍然為負（f′(2) ＝ 12 − 24 ＋ 9 ＝ −3），該點只是凹凸性改變，並非極值點。 (e) f(0) ＝ 2，f′(0) ＝ 9，切線方程為 y ＝ 9x ＋ 2。在 [0, 1] 上 f′ > 0，f 遞增；在 [1, 3] 上 f′ ＜ 0，f 遞減，故 f 在 x ＝ 1 取得區間內最大值 6。 評分要點：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 5 | 考慮曲線 C：y ＝ x² − 2x 與直線 L：y ＝ x。 (a) 求 C 與 L 的交點。 (b) 求由 C 與 L 所圍成的區域面積。 (c) 求由 C 與 x 軸在 x ＝ 0 至 x ＝ 2 之間所圍成的區域面積。 (d) 在 (c) 中，定積分 ∫₀² (x² − 2x) dx 的數值是負數，說明這與面積的關係。 (e) 若把 (b) 的區域繞 x 軸旋轉一周，寫出計算旋轉體體積的定積分式（不必求值）。 |
(a) 令 x² − 2x ＝ x，得 x² − 3x ＝ 0，即 x(x − 3) ＝ 0，故 x ＝ 0 或 x ＝ 3；交點為 (0, 0) 與 (3, 3)。 (b) 在 0 ＜ x ＜ 3 內 L 在 C 之上，面積 ＝ ∫₀³ [x − (x² − 2x)] dx ＝ ∫₀³ (3x − x²) dx ＝ [3x²/2 − x³/3]₀³ ＝ 27/2 − 9 ＝ 4.5 平方單位。 (c) ∫₀² (x² − 2x) dx ＝ [x³/3 − x²]₀² ＝ 8/3 − 4 ＝ −4/3，故面積 ＝ 4/3 平方單位（約 1.33）。 (d) 在 0 ＜ x ＜ 2 內 x² − 2x ＜ 0，曲線在 x 軸之下，定積分給出的是「有向面積」，負號表示該區域位於 x 軸下方；面積須取絕對值，即 |−4/3| ＝ 4/3。 (e) 以墊圈法，體積 ＝ π∫₀³ {x² − (x² − 2x)²} dx。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
乙部（第 6 至 10 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷可用計算機，惟計算機不得附有圖表顯示或符號運算功能。計算題須展示步驟，數值答案取三位有效數字（另有指明者除外），並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 6 | 考慮定積分 ∫₀¹ 1/(1 ＋ x²) dx，其準確值為 π/4 ＝ 0.785398…。 (a) 以 f(x) ＝ 1/(1 ＋ x²)、子區間寬度 h ＝ 0.25，完成下表（取六位小數）：x ＝ 0、0.25、0.5、0.75、1 時對應的 f(x)。 (b) 用梯形法則（n ＝ 4）求該積分的近似值（取六位小數）。 (c) 求近似值的絕對誤差。 (d) 說明為何增加 n 會令誤差減少，並指出梯形法則在本題是高估還是低估。 (e) 寫出梯形法則的一般公式（以 h、f₀、f₁、…、fₙ 表示）。 |
(a) f(0) ＝ 1.000000；f(0.25) ＝ 1 ÷ 1.0625 ＝ 0.941176；f(0.5) ＝ 1 ÷ 1.25 ＝ 0.800000；f(0.75) ＝ 1 ÷ 1.5625 ＝ 0.640000；f(1) ＝ 1 ÷ 2 ＝ 0.500000。 (b) T ＝ h/2 × [f₀ ＋ f₄ ＋ 2(f₁ ＋ f₂ ＋ f₃)] ＝ 0.125 × [1 ＋ 0.5 ＋ 2(0.941176 ＋ 0.800000 ＋ 0.640000)] ＝ 0.125 × 6.262353 ＝ 0.782794。 (c) 誤差 ＝ 0.785398 − 0.782794 ＝ 0.002604。 (d) n 增大時每個子區間變短，以直線段代替曲線的偏差減少，誤差的量級與 h² 成正比，故誤差減少。本題中 f 為上凸（f″(x) ＝ (6x² − 2)/(1 ＋ x²)³，在 [0, 1] 上先正後負），梯形法則在本題給出低估（近似值 0.782794 小於真值 0.785398）。 (e) T ＝ h/2 × [f₀ ＋ 2f₁ ＋ 2f₂ ＋ … ＋ 2fₙ₋₁ ＋ fₙ]，其中 h ＝ (b − a)/n。 評分要點：(a) 3 分、(b) 3 分、(c) 1 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 7 | 某工廠有 A、B 兩部機器生產同一款零件：A 生產全部產量的 60%，其中 2% 為瑕疵品；B 生產其餘 40%，其中 5% 為瑕疵品。現從總產量中隨機抽出一件零件。 (a) 以樹形圖或概率公式求抽到瑕疵品的概率。 (b) 已知抽到的零件是瑕疵品，求它由 A 機器生產的概率（取三位小數）。 (c) 已知抽到的零件是瑕疵品，求它由 B 機器生產的概率，並驗證 (b)、(c) 兩答案之和為 1。 (d) 已知抽到的零件沒有瑕疵，求它由 B 機器生產的概率（取三位小數）。 (e) 判斷「零件由 A 生產」與「零件是瑕疵品」兩事件是否獨立，並以數值說明。 |
(a) P(瑕疵) ＝ 0.6 × 0.02 ＋ 0.4 × 0.05 ＝ 0.012 ＋ 0.020 ＝ 0.032。 (b) P(A | 瑕疵) ＝ (0.6 × 0.02) ÷ 0.032 ＝ 0.012 ÷ 0.032 ＝ 0.375。 (c) P(B | 瑕疵) ＝ (0.4 × 0.05) ÷ 0.032 ＝ 0.020 ÷ 0.032 ＝ 0.625；0.375 ＋ 0.625 ＝ 1，驗證成立。 (d) P(無瑕疵) ＝ 0.6 × 0.98 ＋ 0.4 × 0.95 ＝ 0.588 ＋ 0.380 ＝ 0.968；P(B | 無瑕疵) ＝ 0.380 ÷ 0.968 ＝ 0.393。 (e) P(A) × P(瑕疵) ＝ 0.6 × 0.032 ＝ 0.0192，而 P(A 且 瑕疵) ＝ 0.012，兩者不相等，故兩事件不獨立（A 生產的零件較不容易有瑕疵）。 評分要點：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 8 | 為估計某校全體學生某科的測驗平均分 μ，隨機抽出 50 名學生，樣本平均分 x̄ ＝ 72.4，樣本標準差 s ＝ 10.5。已知母體標準差可由 s 估計，樣本平均數的抽樣分佈近似正態，且 z₀.₀₂₅ ＝ 1.96。 (a) 寫出 μ 的點估計值。 (b) 求樣本平均數的標準誤（取三位小數）。 (c) 求 μ 的 95％ 置信區間（取三位小數），並解釋該區間的意義。 (d) 若希望 95％ 置信區間的誤差上限（誤差界限）不超過 2 分，求所需的最少樣本數。 (e) 說明為何 (c) 的區間不能理解為「μ 有 95％ 機會落在此區間內」。 |
(a) μ 的點估計值為 x̄ ＝ 72.4 分。 (b) 標準誤 ＝ s/√n ＝ 10.5 ÷ √50 ＝ 1.485。 (c) 誤差界限 ＝ 1.96 × 1.485 ＝ 2.910；置信區間為 (72.4 − 2.910, 72.4 ＋ 2.910) ＝ (69.490, 75.310)。意義：若以同樣方法重複抽樣多次，約 95％ 的樣本所計出的區間會包含真正的 μ。 (d) 要求 1.96 × 10.5 ÷ √n ≤ 2，即 √n ≥ 1.96 × 10.5 ÷ 2 ＝ 10.29，n ≥ 105.88，故最少需要 106 名學生。 (e) 在頻率學派的觀點下 μ 是固定但未知的常數，區間 (69.490, 75.310) 已是固定數值，而 95％ 描述的是「此方法能成功蓋住 μ 的長期比率」，不是 μ 本身的概率。 評分要點：(a) 1 分、(b) 2 分、(c) 3 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
| 9 | 某研究記錄變數 x（每日溫習時數）與 y（測驗分數）的五組數據：(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 5)。 (a) 求 x 與 y 的平均值 x̄、ȳ。 (b) 求 Sxx、Syy 及 Sxy。 (c) 求 y 對 x 的回歸直線 y ＝ a ＋ bx 中的 b 與 a（取一位小數）。 (d) 求相關係數 r（取三位小數），並描述兩變數關係的強弱與方向。 (e) 用回歸直線預測 x ＝ 6 時的 y 值，並說明在 x ＝ 15 時作預測是否恰當。 |
(a) x̄ ＝ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5) ÷ 5 ＝ 3；ȳ ＝ (2 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 5) ÷ 5 ＝ 4。 (b) Sxx ＝ Σ(x − x̄)² ＝ 4 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 4 ＝ 10；Syy ＝ Σ(y − ȳ)² ＝ 4 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＝ 6；Sxy ＝ Σ(x − x̄)(y − ȳ) ＝ 4 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 6。 (c) b ＝ Sxy ÷ Sxx ＝ 6 ÷ 10 ＝ 0.6；a ＝ ȳ − b·x̄ ＝ 4 − 0.6 × 3 ＝ 2.2，故回歸直線為 y ＝ 2.2 ＋ 0.6x。 (d) r ＝ Sxy ÷ √(Sxx × Syy) ＝ 6 ÷ √60 ＝ 0.775；r 為正且接近 1，表示 x 與 y 有頗強的正相關。 (e) 當 x ＝ 6，y ＝ 2.2 ＋ 0.6 × 6 ＝ 5.8。x ＝ 15 遠超數據範圍（1 至 5），屬於外推，回歸關係未必在該處成立，故此預測並不恰當。 評分要點：(a) 2 分、(b) 3 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 1 分。 |
| 10 | 離散隨機變數 X 的概率分佈如下：P(X ＝ 0) ＝ 0.1、P(X ＝ 1) ＝ 0.3、P(X ＝ 2) ＝ 0.4、P(X ＝ 3) ＝ 0.2。 (a) 驗證此為有效的概率分佈。 (b) 求 E(X)。 (c) 求 E(X²) 及 Var(X)。 (d) 求 E(3X ＋ 2) 及 Var(3X ＋ 2)。 (e) 寫出 X 的累積分佈函數 F(x) 在 x ＝ 0、1、2、3 的值，並求 P(1 ≤ X ≤ 2)。 |
(a) 各概率均介乎 0 與 1 之間，且 0.1 ＋ 0.3 ＋ 0.4 ＋ 0.2 ＝ 1，故為有效的概率分佈。 (b) E(X) ＝ 0×0.1 ＋ 1×0.3 ＋ 2×0.4 ＋ 3×0.2 ＝ 0 ＋ 0.3 ＋ 0.8 ＋ 0.6 ＝ 1.7。 (c) E(X²) ＝ 0×0.1 ＋ 1×0.3 ＋ 4×0.4 ＋ 9×0.2 ＝ 0 ＋ 0.3 ＋ 1.6 ＋ 1.8 ＝ 3.7；Var(X) ＝ E(X²) − [E(X)]² ＝ 3.7 − 2.89 ＝ 0.81。 (d) E(3X ＋ 2) ＝ 3E(X) ＋ 2 ＝ 3 × 1.7 ＋ 2 ＝ 7.1；Var(3X ＋ 2) ＝ 3² × Var(X) ＝ 9 × 0.81 ＝ 7.29。 (e) F(0) ＝ 0.1、F(1) ＝ 0.4、F(2) ＝ 0.8、F(3) ＝ 1；P(1 ≤ X ≤ 2) ＝ 0.3 ＋ 0.4 ＝ 0.7。 評分要點：(a) 2 分、(b) 2 分、(c) 2 分、(d) 2 分、(e) 2 分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
