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HKDSE 數學延伸部分單元二（代數與微積分）模擬卷（10 題・100 分・2 小時 30 分）
練習卷 · DSE 數學 M2
HKDSE 數學延伸部分單元二模擬卷：10 題、100 分、限時 2 小時 30 分，涵蓋數學歸納法、二項式定理、極限與求導、代換法與定積分、三角方程、矩陣與逆矩陣、三元一次方程組、向量與叉積、曲線描繪與面積、分部積分，每題附逐步答案與評分要點。
卷面資料 年級：中六（HKDSE 選修單元） ｜ 科目：數學（延伸部分單元二） ｜ 時限：150 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：10
甲部（第 1 至 6 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷須展示步驟，數值答案取三位有效數字（另有指明者除外），並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 設 S(n) 為命題「對所有正整數 n，Σ（r 由 1 至 n）r·2^r ＝ (n − 1)·2^(n+1) ＋ 2」。\n(a) 以數學歸納法證明 S(n) 對所有正整數 n 成立。\n(b) 由此求 Σ（r 由 1 至 5）r·2^r 的值。 | (a) 當 n ＝ 1：左邊 ＝ 1×2 ＝ 2，右邊 ＝ (1 − 1)×4 ＋ 2 ＝ 2，命題成立。\n假設對某正整數 k 成立，即 Σ（r 由 1 至 k）r·2^r ＝ (k − 1)·2^(k+1) ＋ 2。\n則 n ＝ k ＋ 1 時：Σ（r 由 1 至 k+1）r·2^r ＝ (k − 1)·2^(k+1) ＋ 2 ＋ (k ＋ 1)·2^(k+1)\n＝ [(k − 1) ＋ (k ＋ 1)]·2^(k+1) ＋ 2 ＝ 2k·2^(k+1) ＋ 2 ＝ k·2^(k+2) ＋ 2\n＝ [(k ＋ 1) − 1]·2^((k+1)+1) ＋ 2，命題對 n ＝ k ＋ 1 亦成立。\n由數學歸納法原理，S(n) 對所有正整數 n 成立。\n(b) 取 n ＝ 5：Σ ＝ (5 − 1)×2^6 ＋ 2 ＝ 4×64 ＋ 2 ＝ 258。\n評分要點：(a) 6 分（奠基 1、歸納假設 1、代入 2、化簡 2）；(b) 2 分。 |
| 2 | 在 (2 − x/2)^8 的展開式中，\n(a) 求常數項；\n(b) 求 x^3 的係數；\n(c) 求 x^4 的係數。 | (a) 常數項 ＝ C(8,0)×2^8×( −x/2 )^0 ＝ 256。\n(b) 含 x^3 的項為 C(8,3)×2^5×(−1/2)^3 x^3 ＝ 56×32×(−1/8) x^3 ＝ −224x^3，係數為 −224。\n(c) 含 x^4 的項為 C(8,4)×2^4×(−1/2)^4 x^4 ＝ 70×16×(1/16) x^4 ＝ 70x^4，係數為 70。\n評分要點：(a) 2 分；(b) 4 分（組合數、2 的冪、符號各 1，答案 1）；(c) 2 分。 |
| 3 | (a) 求 lim（x → 2）(x^2 − 5x ＋ 6) / (x − 2)。\n(b) 設 h(x) ＝ x^2 ln x（x 大於 0），求 h′(1)。\n(c) 求曲線 y ＝ h(x) 在 x ＝ 1 處的切線方程。 | (a) x^2 − 5x ＋ 6 ＝ (x − 2)(x − 3)，故當 x ≠ 2 時商式為 x − 3，極限為 2 − 3 ＝ −1。\n(b) h′(x) ＝ 2x ln x ＋ x^2 × (1/x) ＝ 2x ln x ＋ x，故 h′(1) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1。\n(c) h(1) ＝ 1^2 × ln 1 ＝ 0，切線為 y − 0 ＝ 1 × (x − 1)，即 y ＝ x − 1。\n評分要點：(a) 3 分（因式分解 1、約簡 1、答案 1）；(b) 3 分；(c) 2 分。 |
| 4 | (a) 以代換 u ＝ x^2 ＋ 3 求 ∫ x√(x^2 ＋ 3) dx。\n(b) 由此計算 ∫（由 x ＝ 1 至 3）x√(x^2 ＋ 3) dx，答案取三位有效數字。 | (a) 令 u ＝ x^2 ＋ 3，則 du ＝ 2x dx，即 x dx ＝ du / 2。\n∫ x√(x^2 ＋ 3) dx ＝ (1/2)∫ u^(1/2) du ＝ (1/2)(2/3)u^(3/2) ＋ C ＝ (1/3)(x^2 ＋ 3)^(3/2) ＋ C。\n(b) 原式 ＝ [(1/3)(x^2 ＋ 3)^(3/2)]（由 1 至 3）＝ (1/3)(12^(3/2) − 4^(3/2))\n＝ (1/3)(41.569 − 8) ＝ 11.190，即約 11.2。\n評分要點：(a) 5 分（代換 2、反導數 2、常數 C 1）；(b) 4 分（上下限代入 2、值 2）。 |
| 5 | (a) 解方程 2sin^2 θ − sin θ − 1 ＝ 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。\n(b) 由此解方程 2sin^2(2x) − sin(2x) − 1 ＝ 0，其中 0° ≤ x ≤ 180°。 | (a) 2sin^2 θ − sin θ − 1 ＝ (2sin θ ＋ 1)(sin θ − 1) ＝ 0。\n若 sin θ ＝ 1，則 θ ＝ 90°；若 sin θ ＝ −1/2，則 θ ＝ 210° 或 330°。\n故 θ ＝ 90°、210°、330°。\n(b) 令 2x 取 (a) 的三個值，並考慮 0° ≤ 2x ≤ 360°，得 2x ＝ 90°、210°、330°，故 x ＝ 45°、105°、165°。\n評分要點：(a) 5 分（因式分解 2、三個解各 1）；(b) 4 分（範圍處理 1、三個解各 1）。 |
| 6 | 設 A ＝ （2 1；3 4）。\n(a) 求 det A 及 A^(−1)。\n(b) 以逆矩陣法解方程組 2x ＋ y ＝ 5，3x ＋ 4y ＝ 6。 | (a) det A ＝ 2×4 − 1×3 ＝ 5；A^(−1) ＝ (1/5)×（4 −1；−3 2）＝（4/5 −1/5；−3/5 2/5）。\n(b) （x；y）＝ A^(−1)（5；6）＝ (1/5)×（4×5 − 1×6；−3×5 ＋ 2×6）＝ (1/5)×（14；−3）\n＝（14/5；-3/5），即 x ＝ 2.8、y ＝ −0.6。\n評分要點：(a) 4 分（行列式 1、餘因子 2、逆矩陣 1）；(b) 4 分（矩陣乘法 2、兩個值各 1）。 |
乙部（第 7 至 10 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷須展示步驟，數值答案取三位有效數字（另有指明者除外），並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 考慮方程組 x ＋ y ＋ z ＝ 6，2x − y ＋ z ＝ 3，x ＋ 2y − kz ＝ 3，其中 k 為實數。\n(a) 以 k 表示該方程組的係數矩陣的行列式。\n(b) 求 k 的值使方程組沒有唯一解。\n(c) 當 k ＝ 1 時，用克拉瑪法則解該方程組。 | (a) 行列式 ＝ 1[(−1)(−k) − 1×2] − 1[2(−k) − 1×1] ＋ 1[2×2 − (−1)×1]\n＝ (k − 2) ＋ (2k ＋ 1) ＋ 5 ＝ 3k ＋ 4。\n(b) 沒有唯一解即行列式為 0，故 3k ＋ 4 ＝ 0，k ＝ −4/3。\n(c) 當 k ＝ 1，行列式 ＝ 7。\nx ＝ det（6 1 1；3 −1 1；3 2 −1）÷ 7 ＝ 9/7；y ＝ det（1 6 1；2 3 1；1 3 −1）÷ 7 ＝ 15/7；z ＝ det（1 1 6；2 −1 3；1 2 3）÷ 7 ＝ 18/7。\n即 x ＝ 9/7、y ＝ 15/7、z ＝ 18/7；回代三式均成立。\n評分要點：(a) 4 分；(b) 3 分；(c) 5 分（三個行列式各 1、三個解各 1）。 |
| 8 | 設向量 a ＝ i ＋ 2j − 2k，b ＝ 2i − j ＋ k。\n(a) 求 |a|、|b| 及 a·b。\n(b) 求 a 與 b 之間的夾角，答案取三位有效數字。\n(c) 求 a × b 及 |a × b|。\n(d) 求 b 在 a 方向上的投影長度（純量分量）。 | (a) |a| ＝ √(1 ＋ 4 ＋ 4) ＝ 3；|b| ＝ √(4 ＋ 1 ＋ 1) ＝ √6 ≈ 2.45；a·b ＝ 2 − 2 − 2 ＝ −2。\n(b) cos θ ＝ −2 ÷ (3√6) ≈ -0.2722，θ ≈ 105.8°，即約 106°。\n(c) a × b ＝（2×1 − (−2)(−1)）i −（1×1 − (−2)×2）j ＋（1×(−1) − 2×2）k\n＝ 0i − 5j − 5k，故 |a × b| ＝ √50 ≈ 7.07。\n(d) 投影長度 ＝ a·b ÷ |a| ＝ −2 ÷ 3 ≈ −0.667（負號表示方向與 a 相反）。\n評分要點：(a) 3 分；(b) 3 分（餘弦值 2、角度 1）；(c) 4 分（叉積 3、大小 1）；(d) 2 分。 |
| 9 | 設曲線 C 的方程為 y ＝ x^3 − 6x^2 ＋ 9x ＋ 1。\n(a) 求 C 的駐點，並判定各點的性質。\n(b) 求 C 的拐點。\n(c) 求 C 與直線 x ＝ 0、x ＝ 3 及 x 軸所圍成的區域面積（該區域位於 x 軸上方）。 | (a) y′ ＝ 3x^2 − 12x ＋ 9 ＝ 3(x − 1)(x − 3)，駐點為 x ＝ 1 及 x ＝ 3。\ny″ ＝ 6x − 12；x ＝ 1 時 y″ ＝ −6 小於 0，故 (1, 5) 為極大點；x ＝ 3 時 y″ ＝ 6 大於 0，故 (3, 1) 為極小點。\n(b) 令 y″ ＝ 0 得 x ＝ 2，且 y″ 在 x ＝ 2 兩側變號，故拐點為 (2, 3)。\n(c) 面積 ＝ ∫（0 至 3）(x^3 − 6x^2 ＋ 9x ＋ 1) dx\n＝ [x^4/4 − 2x^3 ＋ 9x^2/2 ＋ x]（0 至 3）＝ 81/4 − 54 ＋ 81/2 ＋ 3 ＝ 39/4 ＝ 9.75。\n評分要點：(a) 6 分（導數 1、駐點 2、二階導數判定 3）；(b) 3 分；(c) 4 分（反導數 2、代入 2）。 |
| 10 | (a) 用分部積分法求 ∫ x^2 e^(2x) dx。\n(b) 由此計算 ∫（由 x ＝ 0 至 1）x^2 e^(2x) dx，答案取三位有效數字。\n(c) 說明為何不能直接用代換 u ＝ e^(2x) 求 (a) 的積分。 | (a) 取 u ＝ x^2，dv ＝ e^(2x) dx，則 du ＝ 2x dx，v ＝ e^(2x)/2。\n∫ x^2 e^(2x) dx ＝ (x^2 e^(2x))/2 − ∫ x e^(2x) dx。\n再取 u ＝ x、dv ＝ e^(2x) dx，得 ∫ x e^(2x) dx ＝ (x e^(2x))/2 − e^(2x)/4。\n故原式 ＝ (x^2 e^(2x))/2 − (x e^(2x))/2 ＋ e^(2x)/4 ＋ C\n＝ e^(2x)(x^2/2 − x/2 ＋ 1/4) ＋ C。\n(b) 代入上下限：e^2 × (1/2 − 1/2 ＋ 1/4) − e^0 × (1/4) ＝ 0.25e^2 − 0.25≈ 1.5973，即約 1.60。\n(c) 代換 u ＝ e^(2x) 得 du ＝ 2e^(2x) dx，被積函數中的 x^2 無法單以 u 表示（需用 ln u），會令積分更複雜，故不宜直接代換。\n評分要點：(a) 7 分（第一次分部 3、第二次分部 3、常數 1）；(b) 4 分；(c) 2 分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
