中文（繁體）
中文（簡體）
English
DSE 數學（必修部分）練習卷：二次方程與二次函數（12 題・50 分・75 分鐘）
練習卷 · DSE 數學二次方程與函數全卷
DSE 數學必修部分練習卷：12 題原創題目、50 分、75 分鐘，涵蓋因式分解、判別式、配方法、根與係數、二次不等式與拋物線應用，每題附完整步驟及評分要點。適合中六文憑試備考。適合中六文憑試備考。適合中六文憑試備考。適合中六文憑試備考。適合中六文憑試備考。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：50 分 ｜ 題數：12
甲部：短題（每題 4 分）
回答全部題目，須列出算式及計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 解方程 x² − 5x + 6 = 0，並求兩根之和與兩根之積。（4 分） | 因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0，故 x = 2 或 x = 3。兩根之和 = 2 + 3 = 5，兩根之積 = 2 × 3 = 6。評分：因式分解 1 分，兩根各 1 分，和與積 1 分。 |
| 2 | 考慮方程 2x² + 4x + k = 0。（a）以 k 表示其判別式。（b）若方程有重根，求 k 的值及該重根。（4 分） | （a）判別式 Δ = 4² − 4 × 2 × k = 16 − 8k。（b）重根表示 Δ = 0，即 16 − 8k = 0，故 k = 2。此時方程為 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)² = 0，重根為 x = −1。 |
| 3 | 把 x² + 8x + 11 寫成 a(x − h)² + k 的形式，並寫出圖像的頂點及最小值。（4 分） | x² + 8x + 11 = (x² + 8x + 16) − 16 + 11 = (x + 4)² − 5。頂點為 (−4, −5)，最小值為 −5。評分：配方 2 分，頂點 1 分，最小值 1 分。 |
| 4 | 已知 y = x² − 6x + 5。（a）求圖像與 x 軸的交點。（b）求對稱軸及頂點。（4 分） | （a）令 y = 0，得 x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0，故與 x 軸交於 (1, 0) 及 (5, 0)。（b）對稱軸為 x = 6 ÷ 2 = 3；代入得 y = 9 − 18 + 5 = −4，頂點為 (3, −4)。 |
| 5 | 設 α、β 為方程 3x² − 7x + 2 = 0 的兩根。（a）求 α + β 與 αβ。（b）求以 1/α 與 1/β 為根、係數為整數的二次方程。（4 分） | （a）α + β = 7/3，αβ = 2/3。（b）1/α + 1/β = (α + β) ÷ αβ = (7/3) ÷ (2/3) = 7/2；1/α × 1/β = 1 ÷ (2/3) = 3/2。所求方程為 x² − (7/2)x + 3/2 = 0，兩邊乘 2 得 2x² − 7x + 3 = 0。 |
| 6 | 一個球從地面垂直向上拋出，t 秒後離地高度為 h = −5t² + 20t 米（0 ≤ t ≤ 4）。（a）求球達到的最高高度。（b）求球離地 15 米時的時刻。（4 分） | （a）h = −5(t² − 4t) = −5[(t − 2)² − 4] = −5(t − 2)² + 20，故 t = 2 時高度最大，最高為 20 米。（b）令 −5t² + 20t = 15，化簡得 t² − 4t + 3 = 0，即 (t − 1)(t − 3) = 0，故 t = 1 秒或 t = 3 秒。 |
乙部：應用題（每題 4 分）
解方程及不等式時須寫出因式分解或公式，並清楚標示答案。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 解不等式 x² − 3x − 10 ≤ 0。（4 分） | x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2) ≤ 0，臨界值為 −2 與 5。由於拋物線開口向上，兩根之間的值為負，故解為 −2 ≤ x ≤ 5。評分：因式分解 2 分，範圍 2 分（端點錯扣 1 分）。 |
| 8 | 判斷方程 4x² − 12x + 9 = 0 的實根數目，並解該方程。（4 分） | 判別式 Δ = (−12)² − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0，故方程有一個重根（二重實根）。4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² = 0，故 x = 3/2。 |
| 9 | 一個長方形的周界為 28 cm，面積為 45 cm²。求它的長與闊。（4 分） | 設闊為 w cm，則長為 (14 − w) cm。由面積得 w(14 − w) = 45，即 w² − 14w + 45 = 0，因式分解得 (w − 5)(w − 9) = 0，故 w = 5 或 w = 9。長方形的長為 9 cm，闊為 5 cm。 |
丙部：長題（共 14 分）
長題須列出完整的解題步驟，應用題的答案須附單位。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 10 | 直線 y = 2x + 3 與拋物線 y = x² − 2x + 1 相交於 P、Q 兩點。（a）證明兩圖像有兩個交點。（b）求 P、Q 的 x 坐標，答案準確至三位有效數字。（4 分） | （a）令 x² − 2x + 1 = 2x + 3，得 x² − 4x − 2 = 0。其判別式 Δ = 16 + 8 = 24 ＞ 0，故有兩個相異實根，即兩圖像有兩個交點。（b）由公式 x = (4 ± √24) ÷ 2 = 2 ± √6，故 x ≈ 4.45 或 x ≈ −0.449（三位有效數字）。 |
| 11 | 已知 f(x) = 2x² − 12x + 13。（a）把 f(x) 寫成 a(x − h)² + k 的形式。（b）求 f(x) 的最小值及對應的 x 值。（4 分） | （a）f(x) = 2(x² − 6x) + 13 = 2[(x − 3)² − 9] + 13 = 2(x − 3)² − 5。（b）因為 (x − 3)² ≥ 0，故 f(x) ≥ −5，最小值為 −5，在 x = 3 時取得。評分：配方 2 分，最小值 1 分，對應 x 值 1 分。 |
| 12 | 某小店售賣一款筆記本。每本售價 x 元時，每月利潤 P（元）為 P = −2x² + 80x − 600，其中 10 ≤ x ≤ 30。（a）求使每月利潤最大的售價及該最大利潤。（b）求使每月利潤為正的售價範圍。（6 分） | （a）P = −2(x² − 40x) − 600 = −2[(x − 20)² − 400] − 600 = −2(x − 20)² + 200。因為 −2(x − 20)² ≤ 0，故 x = 20 時利潤最大，最大利潤為 200 元。（b）P ＞ 0 即 −2x² + 80x − 600 ＞ 0，兩邊除以 −2（不等號反向）得 x² − 40x + 300 ＜ 0，即 (x − 10)(x − 30) ＜ 0，故 10 ＜ x ＜ 30。評分：配方 2 分，最大利潤 2 分，範圍 2 分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
