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DSE 數學練習卷：三角學與座標幾何（12 題・100 分）
練習卷 · DSE 數學三角學與座標幾何全卷
DSE 數學練習卷：三角學與座標幾何，12 題共 100 分、75 分鐘，涵蓋直角三角形三角比、正弦與餘弦定理、扇形弧長與面積、兩點距離與中點、直線方程、圓方程與切線、三角方程、R sin(x + α) 化簡法、立體三角、仰角應用及外接圓；每題附評分要點。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：三角比與座標基礎（第 1 至 4 題，共 24 分）
回答全部題目；計算題須寫出公式、代入數值及單位，除特別指明外答案取三位有效數字。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 在三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 13 cm，BC = 5 cm。(a) 求 AC 的長度。(b) 求 sin A 及 tan A 的值（以最簡分數表示）。(c) 求 ∠A，答案取三位有效數字。（6 分） | AC = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm（2 分）。sin A = BC/AB = 5/13，tan A = BC/AC = 5/12（2 分；只寫小數而無分數扣 1 分）。∠A = tan⁻¹(5/12) = 22.6°（2 分；用 sin⁻¹ 0.3846 得同值亦給分）。 |
| 2 | 在三角形 ABC 中，a = 8 cm，b = 11 cm，∠C = 65°。(a) 用餘弦定理求 c 的長度。(b) 用正弦定理求 ∠A，答案取三位有效數字。（6 分） | c² = 8² + 11² − 2(8)(11)cos 65° = 185 − 176(0.4226) = 110.6（2 分），c = 10.5 cm（1 分；漏開方只得 2 分）。sin A = 8 sin 65° / 10.5 = 0.6894（2 分），∠A = 43.6°（1 分；另一解 180° − 43.6° 因 b 大於 a 而被捨去）。 |
| 3 | 一個扇形的半徑為 12 cm，圓心角為 1.8 弧度。(a) 求弧長。(b) 求扇形面積。(c) 把 1.8 弧度化為度，答案取三位有效數字。（6 分） | 弧長 = rθ = 12 × 1.8 = 21.6 cm（2 分）。面積 = ½r²θ = 0.5 × 144 × 1.8 = 129.6 cm²（2 分；漏 ½ 得 0 分）。1.8 × 180/π = 103.1°（2 分；用 3.14 取 π 得 103.2° 給 1 分）。 |
| 4 | 已知 A(−3, 4) 及 B(5, −2)。(a) 求 AB 的長度。(b) 求 AB 的中點坐標。(c) 求直線 AB 的方程，並以一般式 ax + by + c = 0 表示。（6 分） | AB = √((5 + 3)² + (−2 − 4)²) = √(64 + 36) = 10（2 分）。中點 = ((−3 + 5)/2, (4 − 2)/2) = (1, 1)（1 分）。斜率 = (−2 − 4)/(5 + 3) = −3/4（1 分），故 3x + 4y − 7 = 0（2 分；化簡後常數項錯誤扣 1 分）。 |
乙部：圓方程、三角方程與直線（第 5 至 8 題，共 32 分）
解方程須列出所有在指定範圍內的答案；捨去不合理解時須說明理由。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 圓 C 的方程為 x² + y² − 6x + 10y + 18 = 0。(a) 求圓心及半徑。(b) 證明點 P(3, −1) 在圓 C 上。(c) 求圓 C 在 P 點的切線方程。（8 分） | (x − 3)² + (y + 5)² = 3² + 5² − 18 = 16，故圓心 (3, −5)、半徑 4（3 分；配方法正確但半徑漏開方扣 1 分）。代入 P：9 + 1 − 18 − 10 + 18 = 0，故 P 在圓上（2 分）。半徑 CP 垂直，圓心 (3, −5) 與 P(3, −1) 的 x 坐標相同，半徑為鉛直線，故切線為水平線 y = −1（3 分）。 |
| 6 | 解方程 2cos²x + 3sin x − 3 = 0，其中 0° ≤ x ≤ 360°。(a) 把方程化為 sin x 的二次方程。(b) 解出範圍內全部答案。（8 分） | 由 cos²x = 1 − sin²x 得 2 − 2sin²x + 3sin x − 3 = 0（2 分），即 2sin²x − 3sin x + 1 = 0（1 分），(2sin x − 1)(sin x − 1) = 0（2 分）。sin x = 1/2 得 x = 30°、150°；sin x = 1 得 x = 90°（2 分；漏一解扣 1 分）。故 x = 30°、90°、150°（1 分）。 |
| 7 | 已知函數 y = 3 sin 2x + 1。(a) 寫出振幅、週期、最大值及最小值。(b) 解 3 sin 2x + 1 = 2.5，其中 0° ≤ x ≤ 180°。（8 分） | 振幅 3（1 分），週期 360°/2 = 180°（1 分），最大值 3 + 1 = 4（1 分），最小值 −3 + 1 = −2（1 分）。3 sin 2x = 1.5，sin 2x = 0.5（1 分），2x = 30° 或 150°（2 分），x = 15° 或 75°（1 分）。 |
| 8 | 已知直線 L：4x − 3y + 5 = 0 及點 P(2, 7)。(a) 求 P 到 L 的垂直距離。(b) 求過 P 且垂直於 L 的直線方程。(c) 求 P 在 L 上的垂足坐標。（8 分） | d = |4(2) − 3(7) + 5| / √(4² + 3²) = |−8| / 5 = 1.6（2 分；分子漏絕對值扣 1 分）。L 的斜率為 4/3（1 分），垂直斜率 −3/4（1 分），故 y − 7 = −(3/4)(x − 2)，即 3x + 4y − 34 = 0（2 分）。解聯立得垂足 (3.28, 6.04)（2 分；與 (a) 距離一致性可作檢查）。 |
丙部：立體三角與綜合應用（第 9 至 12 題，共 44 分）
證明題須逐步寫出理由；應用題須先定義所用變數，並寫出所作假設。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 一個長方體的長、闊、高分別為 12 cm、9 cm 及 8 cm。(a) 求底面對角線的長度。(b) 求空間對角線的長度。(c) 求空間對角線與底面所成的角。(d) 求底面對角線與 12 cm 那條邊所成的角。（10 分） | 底面對角線 = √(12² + 9²) = 15 cm（2 分）。空間對角線 = √(15² + 8²) = 17 cm（2 分）。tan θ = 8/15，θ = 28.1°（3 分；誤用 sin 或 cos 得 0 分）。tan φ = 9/12，φ = 36.9°（3 分）。 |
| 10 | 設 f(x) = 3 sin x + 4 cos x。(a) 把 f(x) 寫成 R sin(x + α) 的形式，其中 R 為正數、α 介於 0° 及 90° 之間。(b) 求 f(x) 的最大值及此時 x 的值。(c) 解 f(x) = 2，其中 0° ≤ x ≤ 360°。（11 分） | R = √(3² + 4²) = 5（1 分），tan α = 4/3 得 α = 53.1°（2 分），故 f(x) = 5 sin(x + 53.1°)（1 分）。最大值 5（1 分），此時 x + 53.1° = 90°，x = 36.9°（2 分）。sin(x + 53.1°) = 0.4（1 分），x + 53.1° = 23.6° 或 156.4° 或 383.6° 或 516.4°（2 分），在範圍內 x = 103.3° 或 330.4°（1 分）。 |
| 11 | 已知三點 A(1, 2)、B(7, 4) 及 C(5, 10)。(a) 證明 AB = BC 且 ∠ABC = 90°。(b) 求三角形 ABC 的外心坐標及外接圓半徑。(c) 求外接圓的方程。（11 分） | AB² = 6² + 2² = 40，BC² = (−2)² + 6² = 40，故 AB = BC（2 分）。AC² = 4² + 8² = 80，而 40 + 40 = 80，由勾股定理的逆定理得 ∠ABC = 90°（3 分）。直角三角形的外心為斜邊 AC 的中點，即 (3, 6)（2 分），半徑 = AC/2 = 4.47（1 分）。外接圓：(x − 3)² + (y − 6)² = 20（3 分）。 |
| 12 | 在水平地面上，A 點測得塔頂的仰角為 32°；由 A 向塔底方向直行 25 m 到達 B 點，測得塔頂的仰角為 47°。設 A 與塔底的水平距離為 x m。(a) 以 x 建立求塔高的方程。(b) 求塔高。(c) 求 B 與塔頂的距離。(d) 寫出計算所依據的其中一個假設。（12 分） | h = x tan 32°，且 h = (x − 25) tan 47°（3 分），故 x tan 32° = (x − 25) tan 47°（1 分）。解得 x = 59.91 m（1 分），塔高 h = 37.4 m（3 分；只寫出公式而無解方程最多 2 分）。B 與塔底的水平距離 = 59.91 − 25 = 34.91 m，與塔頂距離 = √(34.91² + 37.4²) = 51.2 m（3 分）。假設塔身鉛直、地面水平，且 A、B、塔底在同一直線上（2 分；其他合理假設如忽略儀器高度亦給分）。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
