IGCSE 數學 0580 Paper 2 練習卷（Extended・不準用計算機）｜19 題 100 分附答案詳解

題目用英文書寫，與實際劍橋試卷一致；評分要點、解題步驟與等級描述用中文說明。

原創 IGCSE 數學 0580 Extended Paper 2 練習卷：2 小時、100 分、不準用計算機，19 題涵蓋標準式、百分數、比例尺、根式、二次方程、三角面積、統計表、函數、向量與證明，附答案詳解、評分要點與等級描述。

Section A — 短題目（第 1–10 題）

Section A 是短題目，考核基本運算與公式運用，每題 4–5 分，目標是在 50 分鐘內完成並保持準確。

1.　Answer all three parts without a calculator.

(a)　Write 0.000 046 in standard form.　（1 分）

(b)　Work out 3/4 + 5/6, giving your answer as a fraction in its simplest form.　（2 分）

(c)　Work out (2.4 × 10⁶) × (5 × 10⁻³), giving your answer in standard form.　（1 分）

2.　A laptop has a normal price of $640. In a sale the price is reduced by 15%.

(a)　Work out the reduction, in dollars.　（1 分）

(b)　Work out the sale price of the laptop.　（1 分）

(c)　After the sale the shop raises the sale price by 10%. Work out the new price and the percentage change from the normal price.　（2 分）

3.　A map is drawn to a scale of 1 : 25 000.

(a)　On the map a road is 6.4 cm long. Work out the real length, in km.　（2 分）

(b)　A field is 1.8 km long. Work out its length on the map, in cm.　（2 分）

(c)　Work out the real area, in m², represented by 1 cm² on the map.　（1 分）

4.　Do not use a calculator.

(a)　Work out 27^(2/3).　（2 分）

(b)　Simplify √50 + √18, giving your answer in the form k√2.　（2 分）

5.　The first four terms of a sequence are 5, 11, 17, 23, …

(a)　Find the nth term of the sequence.　（2 分）

(b)　Find the 40th term.　（1 分）

(c)　Explain whether 200 is a term of this sequence.　（1 分）

6.　Show your working for each part.

(a)　Expand and simplify (2x − 3)(x + 5).　（2 分）

(b)　Factorise completely 6x² − 15x.　（1 分）

(c)　Factorise x² − 9.　（1 分）

7.　Show all your working.

(a)　Solve the simultaneous equations 3x + 2y = 16 and x − y = 2.　（3 分）

(b)　Make x the subject of 5y − 3x = 10.　（2 分）

8.

(a)　Work out the interior angle of a regular pentagon.　（2 分）

(b)　Write down the exterior angle of a regular pentagon.　（1 分）

(c)　The interior angle of a regular polygon is 156°. Work out the number of sides.　（2 分）

9.　All lengths are in cm. Give exact answers where possible.

(a)　A right-angled triangle has hypotenuse 13 cm and one side 5 cm. Work out the third side.　（2 分）

(b)　In a right-angled triangle the hypotenuse is 14 cm and one angle is 30°. Work out the side opposite the 30° angle.　（1 分）

(c)　Work out the side adjacent to the 30° angle in part (b), in the form k√3.　（2 分）

10.　A bag contains 5 red, 3 blue and 2 green counters. All the counters are different. Two counters are taken at random without replacement.

(a)　Write down the probability that the first counter is red.　（1 分）

(b)　Work out the probability that both counters are red.　（2 分）

(c)　Work out the probability that at least one counter is green.　（2 分）

Section B — 長題目（第 11–19 題）

Section B 是長題目，需要寫出完整方法，包括二次方程、立體圖形、統計表、三角面積、函數、向量與證明。

11.　Show your method for both parts.

(a)　Solve 2x² − 7x + 3 = 0, showing your factorisation.　（3 分）

(b)　Write x² − 6x + 5 in the form (x − a)² + b, and state the coordinates of the minimum point of y = x² − 6x + 5.　（3 分）

12.　The line L passes through A(2, 5) and B(6, 13).

(a)　Work out the gradient of L.　（2 分）

(b)　Find the equation of L in the form y = mx + c.　（2 分）

(c)　Find the x-intercept of L.　（1 分）

(d)　Explain whether the point (10, 21) lies on L.　（1 分）

13.　A closed cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Use π = 22/7.

(a)　Work out the volume of the cylinder, in cm³.　（3 分）

(b)　Work out the curved surface area, in cm².　（2 分）

(c)　Work out the total surface area of the closed cylinder, in cm².　（2 分）

14.　In a sale a bicycle is sold for $272 after a 20% discount.

(a)　Work out the normal price of the bicycle.　（3 分）

(b)　A shop assistant adds 20% to $272 and says this is the normal price. Explain, with figures, why this is wrong.　（3 分）

15.　The table shows the number of goals scored by a football team in each of its matches this season.

(a)　Work out the mean number of goals per match.　（3 分）

(b)　Work out the median number of goals.　（2 分）

(c)　Write down the mode.　（1 分）

(d)　How many matches had 3 or more goals?　（1 分）

每場入球數（x）與場數（f）

16.　Triangle ABC has AB = AC = 8 cm and angle BAC = 60°.

(a)　Show that BC = 8 cm.　（2 分）

(b)　Work out the area of triangle ABC, in the form k√3 cm².　（2 分）

(c)　The triangle is the cross-section of a prism of length 12 cm. Work out the volume of the prism, correct to 3 significant figures.　（3 分）

17.　f(x) = 3x − 2 and g(x) = x² + 1.

(a)　Find f⁻¹(x).　（2 分）

(b)　Work out gf(2).　（2 分）

(c)　Explain whether f(x) = g(x) has any real solutions.　（2 分）

18.　In triangle OAB, OA = a and OB = b. P is the midpoint of OA. Q lies on AB with AQ : QB = 1 : 3.

(a)　Find PQ in terms of a and b, in its simplest form.　（3 分）

(b)　M is the midpoint of AB. Show that PQ is parallel to OM and state the ratio PQ : OM.　（3 分）

19.　Answer both parts.

(a)　Solve the inequality 4 − 3x < 13.　（2 分）

(b)　n is an integer. Prove that n² + n is always an even number.　（2 分）

評分準則（全卷 100 分）

答案、解題步驟與評分要點

Q1 答案　(a) 4.6 × 10⁻⁵　(b) 19/12 (= 1 7/12)　(c) 1.2 × 10⁴

·　(a) 小數點右移五位：0.000 046 = 4.6 × 10⁻⁵。

·　(b) 通分母 12：9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12。

·　(c) 2.4 × 5 = 12，10⁶ × 10⁻³ = 10³，所以 12 × 10³ = 1.2 × 10⁴。

評分要點　(b) 2 分：通分母 12 得 1 分，19/12 得 1 分；答 1.58… 不給分。

Q2 答案　(a) $96　(b) $544　(c) $598.40；較原價低 6.5%（−6.5%）

·　(a) 640 的 10% = 64，5% = 32，所以 15% = 96。

·　(b) 640 − 96 = 544。

·　(c) 544 的 10% = 54.4，新價 598.40。

·　差額 = 598.40 − 640 = −41.60；−41.60 ÷ 640 × 100% = −6.5%。

評分要點　(c) $598.40 得 1 分，−6.5% 得 1 分（寫「減少 6.5%」接受）；答 −10% 或 −15% 不給分。

Q3 答案　(a) 1.6 km　(b) 7.2 cm　(c) 62 500 m²（6.25 公頃）

·　(a) 6.4 × 25 000 = 160 000 cm = 1 600 m = 1.6 km。

·　(b) 1.8 km = 180 000 cm；180 000 ÷ 25 000 = 7.2 cm。

·　(c) 面積比例 = 25 000² = 625 000 000，所以 1 cm² 代表 625 000 000 cm² = 62 500 m² = 6.25 公頃。

評分要點　(c) 最常見錯誤是用 25 000 而非 25 000²；答案單位必須是 m²。

Q4 答案　(a) 9　(b) 8√2

·　(a) 27^(1/3) = 3，再平方得 9。

·　(b) √50 = 5√2，√18 = 3√2，相加得 8√2。

評分要點　(a) 27^(1/3) = 3 得 1 分，9 得 1 分；(b) 化簡其中一個根式得 1 分，8√2 得 1 分。

Q5 答案　(a) 6n − 1　(b) 239　(c) 不是；6n − 1 = 200 得 n = 33.5，不是整數

·　(a) 公差 6，設 nth term = 6n + c，代入 n = 1 得 c = −1，即 6n − 1。

·　(b) 6(40) − 1 = 239。

·　(c) 6n − 1 = 200 得 n = 33.5，不是整數，所以 200 不在數列中。

評分要點　(c) 理由要指出 n 不是整數；只寫「不是」不給分。

Q6 答案　(a) 2x² + 7x − 15　(b) 3x(2x − 5)　(c) (x − 3)(x + 3)

·　(a) 2x(x + 5) − 3(x + 5) = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15。

·　(b) 公因式 3x：3x(2x − 5)。

·　(c) 平方差：(x − 3)(x + 3)。

評分要點　(a) 未化簡前四項正確得 1 分，2x² + 7x − 15 得 1 分；(b) 必須抽 3x，只抽 x 不給分。

Q7 答案　(a) x = 4, y = 2　(b) x = (5y − 10)/3

·　(a) 由 x − y = 2 得 x = y + 2，代入：3(y + 2) + 2y = 16，5y = 10，y = 2，x = 4。驗算：3(4) + 2(2) = 16 ✓。

·　(b) 5y − 10 = 3x，所以 x = (5y − 10)/3（或 5y/3 − 10/3）。

評分要點　(a) 代入或消元正確得 1 分，y = 2 得 1 分，x = 4 得 1 分；(b) 整理出 3x 得 1 分，整式除 3 得 1 分。

Q8 答案　(a) 108°　(b) 72°　(c) 15 邊

·　(a) 內角和 = (5 − 2) × 180° = 540°，每個內角 = 540° ÷ 5 = 108°。

·　(b) 180° − 108° = 72°（或 360° ÷ 5）。

·　(c) 外角 = 180° − 156° = 24°，360° ÷ 24° = 15 邊。

評分要點　(c) 用外角最穩；直接用 156° 去除 360° 不給分。

Q9 答案　(a) 12 cm　(b) 7 cm　(c) 7√3 cm（≈ 12.1 cm）

·　(a) √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12。

·　(b) sin 30° = 1/2，對邊 = 14 × 1/2 = 7。

·　(c) cos 30° = √3/2，鄰邊 = 14 × √3/2 = 7√3 ≈ 12.1。

評分要點　(c) 本卷不准用計算機，必須寫根式；若同時寫出根式，可接受 12.1。

Q10 答案　(a) 1/2　(b) 2/9　(c) 17/45（≈ 0.378）

·　(a) 10 個之中有 5 個紅，即 1/2。

·　(b) 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9。

·　(c) P(無綠) = 8/10 × 7/9 = 56/90 = 28/45，所以 P(至少一個綠) = 1 − 28/45 = 17/45 ≈ 0.378。

評分要點　(b) 第二次要抽 4/9；兩次都用 5/10 只給 1 分。

Q11 答案　(a) x = 3 或 x = 1/2　(b) (x − 3)² − 4；最低點 (3, −4)

·　(a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，所以 x = 1/2 或 x = 3。

·　(b) x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4，即 a = 3、b = −4。

·　平方項不小於 0，所以 x = 3 時取最小值 −4，最低點 (3, −4)。

評分要點　(a) 正確因式得 1 分，每個根各 1 分；(b) (x − 3)² − 4 得 2 分，座標得 1 分。

Q12 答案　(a) 2　(b) y = 2x + 1　(c) x = −1/2　(d) 在線上是（21 = 2×10 + 1）

·　(a) (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2。

·　(b) 5 = 2(2) + c 得 c = 1，即 y = 2x + 1。

·　(c) 0 = 2x + 1 得 x = −1/2。

·　(d) 2(10) + 1 = 21，所以 (10, 21) 在 L 上。

評分要點　(d) 要寫出代入過程；只寫「是」不給分。

Q13 答案　(a) 1 540 cm³　(b) 440 cm²　(c) 748 cm²

·　(a) πr²h = 22/7 × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1 540 cm³。

·　(b) 2πrh = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm²。

·　(c) 兩個圓面：2 × 154 = 308，總表面積 = 440 + 308 = 748 cm²。

評分要點　(a) 代入 πr²h 得 1 分，22/7 × 49 = 154 得 1 分，1 540 得 1 分；(c) 兩個圓底要計兩次。

Q14 答案　(a) $340　(b) 272 × 1.2 = $326.40 ≠ $340；因 20% 的基數不同（$68 對 $54.40）

·　(a) 272 是原價的 80%，1% = 3.40，100% = $340。驗算：340 × 0.8 = 272 ✓。

·　(b) 272 的 20% 是 54.40，加得 326.40；但 340 的 20% 是 68。兩者的百分數基數不同，所以加 20% 不能抵銷減 20%。

評分要點　(a) 應除以 0.8（或先除 80 再乘 100）；272 × 1.2 不給分。(b) 兩個數字都對得 2 分，指出「基數不同」得 1 分。

Q15 答案　(a) 5/3 ≈ 1.67　(b) 2　(c) 2　(d) 5 場

·　(a) Σf = 30，Σfx = 0 + 9 + 24 + 9 + 8 = 50，平均 = 50 ÷ 30 = 5/3 ≈ 1.67。

·　(b) 第 15、16 個值都落在「2 球」一行（累積 4、13、25、28、30），中位數 = 2。

·　(c) 最高頻數 12 對應 2 球，眾數 = 2。

·　(d) 3 + 2 = 5 場。

評分要點　(a) Σfx = 50 與 Σf = 30 得 2 分，5/3（接受 1.67）得 1 分；誤除以 5（行數）不給分。

Q16 答案　(a) BC² = 64，BC = 8 cm　(b) 16√3 cm²（≈ 27.7）　(c) 192√3 ≈ 333 cm³

·　(a) BC² = 8² + 8² − 2(8)(8)cos 60° = 64 + 64 − 64 = 64，所以 BC = 8 cm（三角形是等邊三角形）。

·　(b) 面積 = ½ × 8 × 8 × sin 60° = 32 × √3/2 = 16√3 ≈ 27.7 cm²。

·　(c) 體積 = 16√3 × 12 = 192√3 ≈ 332.55 ≈ 333 cm³。

評分要點　(a) 應用餘弦定理並代入 cos 60° = 1/2；”show that” 題必須寫過程。(c) 192√3 得 2 分，取 3 位有效數字得 1 分。

Q17 答案　(a) f⁻¹(x) = (x + 2)/3　(b) 17　(c) 無實數解（判別式 −3 < 0）

·　(a) y = 3x − 2，x = (y + 2)/3，所以 f⁻¹(x) = (x + 2)/3。

·　(b) f(2) = 4，g(4) = 17。

·　(c) 3x − 2 = x² + 1 得 x² − 3x + 3 = 0。判別式 9 − 12 = −3 < 0，所以無實數解。

評分要點　(b) gf 即 g(f(x))，先做 f；答 37 不給分。(c) 要算出判別式並解釋。

Q18 答案　(a) PQ = ¼a + ¼b　(b) OM = ½(a + b)，PQ = ½OM，故平行；PQ : OM = 1 : 2

·　(a) OP = ½a，OQ = a + ¼(b − a) = ¾a + ¼b，所以 PQ = OQ − OP = ¼a + ¼b。

·　(b) OM = ½(a + b) = ½a + ½b。因 PQ = ½OM，兩向量平行，且 PQ : OM = 1 : 2。

評分要點　(a) OQ 得 1 分，相減得 1 分，¼a + ¼b 得 1 分；(b) 證明平行要指出純量倍數 ½。

Q19 答案　(a) x > −3　(b) n² + n = n(n + 1)，n 與 n + 1 必有一個是偶數，故積為偶數

·　(a) 4 − 3x < 13 得 −3x < 9；除以 −3 要變號，所以 x > −3。

·　(b) n² + n = n(n + 1)，是兩個連續整數之積。兩者必有一個是偶數，所以積是偶數。

評分要點　(a) −3x < 9 得 1 分，x > −3 得 1 分（寫 x < −3 不給分）。(b) 要寫出因式分解與「連續整數」的論證。

等級描述（全卷 100 分）

時間分配建議（全卷 120 分鐘）

注意事項

•　本卷為 2 小時、100 分、不準使用計算機，與劍橋 IGCSE 數學 0580 Extended Paper 2 的考制一致；題目全部原創，並非劍橋歷屆試題。

•　全卷 19 題，總分 100 分；每題旁的分數就是該部分可得的分數，分數越高的部分通常需要越多步驟。

•　不准用計算機，所以答案應盡量寫成整數、分數或根式；若題目要求有效數字，請寫明取位（例如 333 cm³）。

•　長題目（第 11–19 題）要寫出方法步驟，只有答案不給方法分。

•　圓柱題用 π = 22/7；三角比的精確值（sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2）要背。

•　建議先做 Section A，把較難的 Section B 留到有足夠時間時處理。

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TutorZone 練習卷｜題目全部原創，並非劍橋大學國際考評部（Cambridge International）歷屆試題或評卷參考；評分要點與等級描述為本卷自訂，僅供練習參考。