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IGCSE 數學練習卷：代數與圖像（12 題・100 分）
練習卷 · IGCSE 數學代數與圖像全卷
IGCSE 數學練習卷：代數與圖像，12 題共 100 分、75 分鐘，涵蓋展開與因式分解、聯立方程、二次公式、直線斜率與方程、二次圖像配方、不等式、函數與反函數、判別式、指數圖像、代數分式及二次應用；每題附評分要點。
卷面資料 年級：中四至中五（S4–S5） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：展開、因式分解與方程（第 1 至 4 題，共 24 分）
回答全部題目；除特別指明外，答案取三位有效數字，並寫出計算步驟。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 展開 (2x − 3)(x + 5)，並化簡 6x⁴y² ÷ 9x²y⁵。（6 分） | (2x − 3)(x + 5) = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15 (3)。6x⁴y² ÷ 9x²y⁵ = (6 ÷ 9)x²y⁻³ = 2x² ÷ (3y³) (3)。 |
| 2 | 因式分解：(a) x² − 7x + 12；(b) 2x² + 5x − 3；(c) 9x² − 16。（6 分） | (a) (x − 3)(x − 4) (2)。(b) 2x² + 6x − x − 3 = (2x − 1)(x + 3) (3)。(c) (3x − 4)(3x + 4) (1)。 |
| 3 | 解聯立方程 3x + 2y = 13 及 5x − 2y = 11；並解 (2x − 1) ÷ 3 = (x + 4) ÷ 2。（6 分） | 兩式相加：8x = 24，得 x = 3 (2)；代回 3x + 2y = 13 得 y = 2 (2)。去分母：2(2x − 1) = 3(x + 4)，即 4x − 2 = 3x + 12，故 x = 14 (2)。 |
| 4 | 用二次公式解 2x² − 5x − 3 = 0（答案取準確值），並由此把 2x² − 5x − 3 因式分解。（6 分） | a = 2，b = −5，c = −3，判別式 = 25 + 24 = 49 (2)；x = (5 ± 7) ÷ 4，得 x = 3 或 x = −0.5 (2)；故 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3) (2)。 |
乙部：直線、二次圖像與函數（第 5 至 8 題，共 32 分）
解方程須逐步列出步驟；解二次方程須寫出所用方法及捨去不合理解的理由。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | A(−1, 3) 與 B(3, 11) 為直線 L 上兩點。(a) 求 L 的斜率及方程；(b) 求 L 與 x 軸的交點；(c) 求過 B 且垂直於 L 的直線方程。（8 分） | (a) 斜率 = (11 − 3) ÷ (3 + 1) = 2 (2)；y − 3 = 2(x + 1)，即 y = 2x + 5 (2)。(b) 令 y = 0，得 x = −2.5，交點為 (−2.5, 0) (1)。(c) 垂直斜率為 −0.5，y − 11 = −0.5(x − 3)，即 y = −0.5x + 12.5 (3)。 |
| 6 | 曲線 y = x² − 4x + 1。(a) 配方求頂點坐標及對稱軸；(b) 解 x² − 4x + 1 = 0，答案取三位有效數字；(c) 直線 y = 2 與曲線相交，求交點的 x 坐標。（8 分） | (a) y = (x − 2)² − 3，頂點為 (2, −3)，對稱軸為 x = 2 (3)。(b) (x − 2)² = 3，x = 2 ± 1.73，即 x ≈ 3.73 或 0.268 (3)。(c) x² − 4x − 1 = 0，x = 2 ± 2.24，即 x ≈ 4.24 或 −0.236 (2)。 |
| 7 | 解下列不等式：(a) 3 − 2x ≥ 7；(b) 列出所有滿足「2x 大於 −3 且 2x ≤ 5」的整數 x；(c) 求使 x² − 5x + 6 為負數的 x 範圍。（8 分） | (a) −2x ≥ 4，除以負數須變號，故 x ≤ −2 (3)。(b) −1.5 小於 x 而 x ≤ 2.5，整數為 −1、0、1、2 (3)。(c) (x − 2)(x − 3) 為負數，故 x 介乎 2 與 3 之間 (2)。 |
| 8 | 已知 f(x) = 3x − 2，g(x) = x² + 1。(a) 求 fg(2)；(b) 求 gf(2)；(c) 求反函數 f⁻¹(x)；(d) 解 f⁻¹(x) = 4。（8 分） | (a) g(2) = 5，f(5) = 13 (2)。(b) f(2) = 4，g(4) = 17 (2)。(c) y = 3x − 2 即 x = (y + 2) ÷ 3，故 f⁻¹(x) = (x + 2) ÷ 3 (2)。(d) (x + 2) ÷ 3 = 4，得 x = 10 (2)。 |
丙部：判別式、指數圖像與綜合應用（第 9 至 12 題，共 44 分）
圖像題須標示交點與頂點坐標；應用題須先寫出所用變數的定義。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 已知二次方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的兩個可能值。(b) 當 k = 6 時求該重根，並寫出曲線 y = x² + 6x + 9 與 x 軸的接觸點及 y 軸截距。（11 分） | (a) 重根條件為判別式 k² − 36 = 0，故 k = 6 或 k = −6 (4)。(b) k = 6 時 x² + 6x + 9 = (x + 3)²，重根 x = −3 (2)；k = −6 時重根 x = 3 (1)；曲線與 x 軸接觸於 (−3, 0)，y 軸截距為 (0, 9) (4)。 |
| 10 | 曲線 y = a · b^x 通過 (0, 3) 與 (2, 27)。(a) 求 a 與 b；(b) 求 x = 4 時的 y 值；(c) 求 y = 1/9 時的 x 值；(d) 寫出該曲線的漸近線方程。（11 分） | (a) x = 0 時 y = a = 3 (2)；x = 2 時 3b² = 27，b² = 9，故 b = 3 (2)。(b) y = 3 × 3⁴ = 243 (2)。(c) 3^(x + 1) = 3⁻²，x + 1 = −2，故 x = −3 (3)。(d) 漸近線為 y = 0 (2)。 |
| 11 | (a) 把 y = (3x + 1) ÷ (x − 2) 變換為以 x 為主項。(b) 解 3 ÷ (x − 1) + 2 ÷ (x + 2) = 1，答案取三位有效數字。(c) 寫出 (b) 中 x 不可取的值。（11 分） | (a) y(x − 2) = 3x + 1，xy − 3x = 1 + 2y，x(y − 3) = 1 + 2y，故 x = (1 + 2y) ÷ (y − 3) (4)。(b) 乘 (x − 1)(x + 2)：3(x + 2) + 2(x − 1) = (x − 1)(x + 2)，5x + 4 = x² + x − 2，x² − 4x − 6 = 0，x = 2 ± √10 ≈ 5.16 或 −1.16 (5)。(c) x = 1 及 x = −2 使分母為零 (2)。 |
| 12 | 一長方形的周界為 40 cm，兩邊長分別為 x cm 與 (20 − x) cm。(a) 以 x 表示面積 A；(b) 配方求 A 的最大值及此時的 x；(c) 說明 x = 8 與 x = 12 得出相同面積的原因；(d) 求使面積為 75 cm² 的 x 值。（11 分） | (a) A = x(20 − x) = 20x − x² (2)。(b) A = −(x − 10)² + 100，x = 10 時 A 的最大值為 100 cm² (4)。(c) 8 與 12 關於 x = 10 對稱，故兩者面積相同，均為 96 cm² (2)。(d) x² − 20x + 75 = 0，(x − 5)(x − 15) = 0，故 x = 5 或 15 (3)。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
