中四數學練習卷：二次方程、函數圖像與變分（100 分）

2026-11-11

練習卷 · 中四數學 · 二次方程與函數圖像

中四數學練習卷：全卷 6 題 22 部分、100 分、75 分鐘。按香港中四數學課程編寫，涵蓋二次方程的解法與判別式、二次函數圖像與平移、聯變與反變、二次方程應用題、對數與複利息，以及統計量與簡單概率，附完整答案、算式與評分要點，題目由淺入深，適合期中與期末溫習。

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卷面資料　年級：中四　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：22

第一部分：二次方程的解法與判別式（15 分）

設 a、b、c 為實數，二次方程 ax² + bx + c = 0（a 不等於 0）的判別式為 b² − 4ac。判別式為正時方程有兩個相異實根，為零時有重根，為負時無實根。求根公式為 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。

#	題目	答案與評分要點
1	以配方法把方程 x² − 6x + 4 = 0 的左式寫成 (x − 3)² 的形式，並解該方程（答案準確至小數後兩位）。	答案：(x − 3)² = 5，故 x = 3 ± √5，即 x ≈ 5.24 或 x ≈ 0.76。（評分要點：配方 1 分，正確開方 1 分，兩個答案 1 分）
2	計算方程 2x² + 5x − 3 = 0 的判別式，由此判斷根的性質，然後解該方程。	答案：判別式 = 5² − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49，為正且是完全平方，故有兩個相異有理根；x = (−5 ± 7) / 4，即 x = 0.5 或 x = -3.0。（評分要點：判別式 1 分，判斷根性質 1 分，兩根 1 分）
3	已知方程 x² + kx + 9 = 0 有重根，求 k 的所有可能值。	答案：重根的條件為判別式 k² − 36 = 0，故 k = 6 或 k = -6。（評分要點：列出判別式等於零 2 分，解得兩值各 1 分）
4	設 α 與 β 為方程 3x² − 7x + 2 = 0 的兩根。求 α + β、αβ 及 α² + β² 的值（最後一項以最簡分數及小數表示）。	答案：α + β = 7/3，αβ = 2/3；α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 49/9 − 4/3 = 37/9 ≈ 4.11。（評分要點：根的和與積 2 分，平方和公式 2 分，答案 1 分）

第二部分：二次函數圖像與平移（16 分）

考慮函數 y = −x² + 4x + 5。其圖像是一條開口向下的拋物線，對稱軸為垂直線 x = h，頂點為 (h, k)。

#	題目	答案與評分要點
5	以配方法把 y = −x² + 4x + 5 寫成 y = −(x − h)² + k 的形式，並寫出頂點的坐標。	答案：y = −(x − 2)² + 9，頂點為 (2, 9)。（評分要點：配方過程 2 分，頂點 2 分）
6	寫出圖像的對稱軸方程，以及圖像與 y 軸的交點坐標。	答案：對稱軸為 x = 2；當 x = 0 時 y = 5，故交點為 (0, 5)。（評分要點：對稱軸 2 分，交點 2 分）
7	求圖像與 x 軸的兩個交點，並寫出 y 大於 0 時 x 的取值範圍。	答案：解 −x² + 4x + 5 = 0 得 x = 5 或 x = -1，交點為 (5, 0) 與 (-1, 0)；圖像開口向下，故 y 大於 0 時 x 在 -1 與 5 之間。（評分要點：兩交點 2 分，範圍 2 分）
8	把該圖像向右平移 3 單位，寫出新圖像對應的函數，並寫出新頂點的坐標。	答案：新函數為 y = −(x − 5)² + 9，新頂點為 (5, 9)。（評分要點：平移方向 2 分，函數與頂點 2 分）

第三部分：聯變與反變（17 分）

設 y 隨 x 的平方正變，並隨 z 反變，即 y = kx² / z，其中 k 為非零常數。當 x = 3 及 z = 2 時，y = 18。

#	題目	答案與評分要點
9	求常數 k 的值，並寫出 y 與 x、z 之間的方程。	答案：18 = k(3²)/2 = 4.5k，故 k = 4，方程為 y = 4x² / z。（評分要點：代入數據 2 分，k 及方程 2 分）
10	當 x = 5 及 z = 4 時，求 y 的值。	答案：y = 4(5²)/4 = 4 × 25 ÷ 4 = 25。（評分要點：代入 2 分，答案 2 分）
11	當 y = 50 及 z = 8 時，求 x 的值（只取正值）。	答案：50 = 4x²/8 = x²/2，故 x² = 100，x = 10。（評分要點：化簡方程 2 分，開方 2 分，只取正值 1 分）
12	若 x 增加 20% 而 z 減少 20%，y 會增加百分之幾？	答案：x² 變為原來的 1.44 倍，z 變為原來的 0.8 倍，故 y 變為 1.44 ÷ 0.8 = 1.8 倍，即增加 80%。（評分要點：兩個倍數各 1 分，結論 2 分）

第四部分：二次方程的應用（18 分）

一個長方形花圃的周界為 34 米，面積為 60 平方米。設花圃的闊為 w 米，長為 (17 − w) 米。

#	題目	答案與評分要點
13	以 w 表示花圃的長，並證明 w 滿足方程 w² − 17w + 60 = 0。	答案：長為 (17 − w) 米；由 w(17 − w) = 60 得 17w − w² = 60，移項得 w² − 17w + 60 = 0。（評分要點：寫出長 2 分，方程推導 2 分）
14	解上述方程，並寫出花圃的長和闊。	答案：w² − 17w + 60 = 0 分解為 (w − 5)(w − 12) = 0，故 w = 5 或 w = 12；闊 5 米、長 12 米。（評分要點：因式分解 2 分，兩根 2 分，尺寸 1 分）
15	圍欄每米造價 45 元，求圍繞花圃一周的費用。	答案：費用 = 34 × 45 = 1530 元。（評分要點：用周界 2 分，答案 2 分）
16	若周界不變而面積改為 72 平方米，求新的長和闊。	答案：w² − 17w + 72 = 0，判別式 = 289 − 288 = 1，故 w = (17 ± 1) ÷ 2 = 9 或 8；新尺寸為 8 米 × 9 米。（評分要點：方程 2 分，判別式或分解 2 分，尺寸 1 分）

第五部分：對數與複利息（17 分）

對數律包括 log(ab) = log a + log b 及 log(a ÷ b) = log a − log b。複利息公式為 A = P(1 + r)ⁿ，其中 P 為本金、r 為每期利率、n 為期數。

#	題目	答案與評分要點
17	計算 log₂ 16 + log₃ (1/9) 的值。	答案：log₂ 16 = 4，log₃ (1/9) = −2，故總值為 2。（評分要點：每項 2 分，合計 1 分）
18	解方程 2^(x + 1) = 32。	答案：32 = 2⁵，故 x + 1 = 5，x = 4。（評分要點：同底 2 分，指數相等 2 分，答案 1 分）
19	某人存入 20000 元，年利率 5%，每年複利一次。以對數計算，最少要存多少個整年，結餘才會超過 30000 元？並求該年的結餘（準確至小數後兩位）。	答案：需 20000(1.05)ⁿ 大於 30000，即 (1.05)ⁿ 大於 1.5；n 大於 log 1.5 ÷ log 1.05 ≈ 8.31，故最少 9 整年；第 9 年結餘為 20000(1.05)^9 ≈ 31026.56 元（第 8 年只有 29549.11 元）。（評分要點：列式 2 分，取對數 2 分，n 值 2 分，結餘 1 分）

第六部分：統計量與概率（17 分）

八名學生在某次數學測驗的得分如下：12、15、15、18、20、22、23、25。

#	題目	答案與評分要點
20	求該組分數的平均數與中位數。	答案：總分 = 150，平均數 = 150 ÷ 8 = 18.75；中位數 = (18 + 20) ÷ 2 = 19。（評分要點：總和 1 分，平均數 2 分，中位數 2 分）
21	從八人中隨機抽出一人，求其得分高於平均數的概率。	答案：高於 18.75 的分數有 20、22、23、25 共 4 個，概率 = 4 ÷ 8 = 0.5。（評分要點：找出 4 個 3 分，概率 3 分）
22	若最低分 12 改為 20，求新的平均數與中位數。	答案：新總分 = 150 − 12 + 20 = 158，新平均數 = 158 ÷ 8 = 19.75；排序後中間兩值為 20 與 20，中位數 = 20。（評分要點：新總分 2 分，平均數 2 分，中位數 2 分）

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