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中四數學練習卷：二次方程、對數、數列與座標幾何（12 題・100 分・75 分鐘・附答案）｜原創模擬試題
練習卷 · 中四數學：二次方程、對數、數列與座標幾何全卷
本卷 12 題、100 分、75 分鐘，覆蓋中四數學：二次方程根的性質、餘式與因式定理、指數與對數方程、百分數折舊、等差與等比數列、變分、座標幾何的垂直平分線、餘弦公式與三角形面積、統計量與標準差，以及不放回抽樣的概率；全部數值由程式自算，附評分要點。
卷面資料 年級：中四（S4） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：二次方程與多項式（24 分）
每題 6 分，須列式或說明推理。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 設 α、β 為方程 2x² − 7x + 3 = 0 的兩根。(a) 以因式分解法解該方程。(b) 求 α + β 與 αβ，並由此求判別式的值。(c) 求以 α + 1 與 β + 1 為兩根的二次方程，並以 ax² + bx + c = 0（a、b、c 為整數）的形式表示。 | (a) 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) = 0，故 x = 1/2 或 x = 3。(b) α + β = 7/2，αβ = 3/2；判別式 = 49 − 24 = 25（大於 0，故兩根為相異實數）。(c) 新根之和 = 7/2 + 2 = 11/2，新根之積 = (1/2 + 1)(3 + 1) = 6，故方程為 x² − (11/2)x + 6 = 0，即 2x² − 11x + 12 = 0。評分要點：正確因式分解、根與係數關係、以根之和與積構造方程。 |
| 2 | 設 p(x) = 2x³ + ax² − 5x + 6，其中 a 為常數。已知 p(1) = 0。(a) 求 a 的值。(b) 將 p(x) 分解為一次因式的乘積。(c) 由此解方程 p(x) = 0，並寫出全部根。 | (a) p(1) = 2 + a − 5 + 6 = a + 3 = 0，故 a = −3。(b) p(x) = 2x³ − 3x² − 5x + 6 = (x − 1)(2x² − x − 6) = (x − 1)(2x + 3)(x − 2)。(c) 由 (b) 得 x = 1、x = 2 或 x = −3/2。評分要點：餘式定理代入、長除法或比較係數、完整分解並列出全部根。 |
| 3 | (a) 不使用計算機，化簡 (27^(2/3) × 9^(−1/2)) ÷ 81^(1/4)，並展示每一步。(b) 解方程 4^(x+1) = 8^(2x−3)。(c) 已知 5^a = 2 及 5^b = 3，求 5^(2a+b) 的值。 | (a) 27^(2/3) = (∛27)² = 9，9^(−1/2) = 1/3，81^(1/4) = 3，故原式 = 9 × (1/3) ÷ 3 = 1。(b) 4^(x+1) = 2^(2x+2)，8^(2x−3) = 2^(6x−9)；同底比較指數得 2x + 2 = 6x − 9，故 x = 11/4 = 2.75。(c) 5^(2a+b) = (5^a)² × 5^b = 2² × 3 = 12。評分要點：分數指數與負指數的處理、同底比較、指數律合併。 |
| 4 | 一個長方形的周界為 26 cm，面積為 40 cm²。設長為 x cm。(a) 證明 x 滿足方程 x² − 13x + 40 = 0。(b) 求該長方形的長與闊。(c) 求該長方形對角線的長度（答案準確至 2 位小數）。 | (a) 闊為 (13 − x) cm，由面積得 x(13 − x) = 40，展開即 x² − 13x + 40 = 0。(b) (x − 5)(x − 8) = 0，故長與闊為 8 cm 及 5 cm。(c) 對角線 = √(8² + 5²) = √89 ≈ 9.43 cm。評分要點：設立未知數並寫出方程、因式分解、開方取正根。 |
乙部：指數、對數與數列（36 分）
每題 9 分，注意題目各部分的配分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | (a) 解方程 log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4，並解釋為何要剔除其中一個解。(b) 解方程 log₄(x + 12) = 2。(c) 不使用計算機，求 log 8 ÷ log 2 + log 25 + log 4 的值（對數以 10 為底）。 | (a) 合併對數得 log₂(x² − 9) = 4，故 x² − 9 = 16，x² = 25，x = 5 或 x = −5；因真數須為正數（x 大於 3），故捨去 x = −5，答案 x = 5。(b) log₄(x + 12) = 2，故 x + 12 = 16，x = 4。(c) log 8 ÷ log 2 = 3（因 2³ = 8），log 25 + log 4 = log 100 = 2，故總和 = 5。評分要點：對數合併法則、指數化、真數範圍檢查。 |
| 6 | 一部汽車的價值 V（元）在購入 n 年後為 V = 240000 × 0.85ⁿ。(a) 求購入 3 年後的價值（準確至元）。(b) 求最少多少年後價值首次低於 $100,000，並展示取對數的步驟。(c) 若另一部汽車每年按固定百分率 r 折舊，4 年後價值剛好為原價的一半，求 r（準確至 0.1%）。 | (a) V = 240000 × 0.85³ = $147,390。(b) 需 0.85ⁿ 小於 5/12，兩邊取對數得 n 大於 5.387，故最少 6 年後（第 5 年仍為 $106,489，第 6 年為 $90,516）。(c) (1 − r)⁴ = 0.5，1 − r = 0.5^(1/4) = 0.8409，故 r = 0.1591，即每年約 15.9%。評分要點：正確代入、取對數處理不等式、四次方根與百分率表示。 |
| 7 | (a) 某等差數列首項為 7，公差為 4，求第 20 項。(b) 求該數列首 20 項之和。(c) 某等比數列首項為 3，公比為 2，求首 8 項之和。(d) 承 (a)(b)，求最小的 n 使該等差數列首 n 項之和大於 1000，並以計算支持你的答案。 | (a) 第 20 項 = 7 + 19 × 4 = 83。(b) 首 20 項和 = 20/2 × (7 + 83) = 900.0。(c) 首 8 項和 = 3(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 765。(d) 首 n 項和 = n(2n + 5)；n = 21 時為 987，n = 22 時為 1078，故最小 n = 22。評分要點：通項公式、等差與等比求和公式、驗證邊界值。 |
| 8 | 設 y 隨 x² 正變，並隨 z 反變。當 x = 4、z = 2 時，y = 24。(a) 求變分常數並寫出 y 與 x、z 的關係式。(b) 當 x = 6、z = 9 時，求 y。(c) 當 y = 9、x = 3 時，求 z。 | (a) 設 y = kx²/z，代入 24 = k × 16 ÷ 2 得 k = 3.0，故 y = 3x²/z。(b) y = 3 × 36 ÷ 9 = 12.0。(c) 由 9 = 3 × 9 ÷ z 得 z = 3.0。評分要點：寫出變分式、求變分常數、代回求值。 |
丙部：座標幾何、三角、統計與概率（40 分）
每題 10 分，須作完整計算或解釋。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 已知 A(−2, 1) 與 B(4, 5) 為坐標平面上兩點。(a) 求 AB 的長度（答案以根式表示，並取 2 位小數）。(b) 求 AB 的中點坐標。(c) 求 AB 的垂直平分線方程，並以 Ax + By + C = 0 的形式表示。(d) 求該垂直平分線與 y 軸的交點，並說明該點與 A、B 的距離關係。 | (a) AB = √[(4 + 2)² + (5 − 1)²] = √(36 + 16) = 2√13 ≈ 7.21。(b) 中點 = ((−2 + 4)/2, (1 + 5)/2) = (1, 3)。(c) AB 的斜率 = (5 − 1)/(4 + 2) = 2/3，故垂直平分線斜率 = −3/2；過 (1, 3) 得 y − 3 = −(3/2)(x − 1)，整理為 3x + 2y − 9 = 0。(d) 令 x = 0 得 y = 4.5，交點為 (0, 4.5)；代入可知該點與 A、B 的距離相等（均為 √(4 + 12.25)），即它是 AB 的垂直平分線上一點。評分要點：距離公式、中點公式、垂直斜率之積為 −1、標準式整理。 |
| 10 | 在三角形 ABC 中，AB = 10 cm，AC = 14 cm，∠A = 60°。(a) 求 BC 的長度（準確至 2 位小數）。(b) 求三角形 ABC 的面積（答案以根式及 2 位小數表示）。(c) 求 ∠B（準確至 0.1°），並說明所用的公式。 | (a) BC² = 10² + 14² − 2 × 10 × 14 × cos60° = 100 + 196 − 140 = 156，故 BC = 2√39 ≈ 12.49 cm。(b) 面積 = ½ × 10 × 14 × sin60° = 35√3 ≈ 60.62 cm²。(c) 由正弦公式 sinB ÷ 14 = sin60° ÷ BC，得 sinB ≈ 0.9707，故 ∠B ≈ 76.1°。評分要點：餘弦公式、面積公式、正弦公式求角並取合理範圍。 |
| 11 | 某組數據為 4、7、7、9、11、13、15、18。(a) 求平均數。(b) 求中位數。(c) 求眾數。(d) 求標準差（準確至 2 位小數）。(e) 若每個數據同時加 3，分別說明平均數、中位數、標準差及全距有何變化，並解釋原因。 | (a) 平均數 = (4 + 7 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 18) ÷ 8 = 10.5。(b) 中位數 = (9 + 11) ÷ 2 = 10。(c) 眾數 = 7（出現兩次）。(d) 離差平方和 = 152，方差 = 152 ÷ 8 = 19，標準差 ≈ 4.36。(e) 每個數據加 3：平均數變 13.5，中位數變 13；標準差與全距不變（仍為 4.36 與 14），因為整體平移不改變數據之間的分散程度。評分要點：平均與中位數的定義、離差平方和、理解平移的影響。 |
| 12 | 一個袋中有 5 個紅球、3 個藍球及 2 個綠球，除顏色外完全相同。(a) 隨機抽出一球，求抽出紅球的概率。(b) 不放回地抽出兩球，求兩球皆為紅球的概率。(c) 不放回地抽出兩球，求至少有一球為綠球的概率。(d) 放回地抽出兩球，求剛好一紅一藍的概率。 | (a) P(紅球) = 5/10 = 0.5。(b) P(兩球皆紅) = (5/10) × (4/9) = 2/9 ≈ 0.222。(c) P(至少一綠) = 1 − (8/10)(7/9) = 1 − 28/45 = 17/45 ≈ 0.378。(d) P(剛好一紅一藍) = 2 × (5/10) × (3/10) = 0.3。評分要點：不放回時分母遞減、以反面事件處理「至少」、考慮兩種次序。 |
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