中五數學練習卷：圓的方程與圓形性質（100 分）

2026-11-11

練習卷 · 中五數學 · 圓的方程

中五數學練習卷：全卷 6 題 22 部分、100 分、75 分鐘。按香港中五數學課程編寫，涵蓋圓的方程與配方法、直線與圓相切、圓上一點的切線、兩圓的位置關聯與根軸、圓形性質，以及弦長與中點，附完整答案、算式步驟與評分要點。

卷面資料　年級：中五　｜　科目：數學　｜　時限：75 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：22

第一部分：圓的方程、圓心與半徑（16 分）

圓的一般式方程為 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，配方法可把它寫成標準式，直接讀出圓心與半徑。判斷一點與圓的相對位置，只需比較該點與圓心的距離和半徑。

#	題目	答案與評分要點
1	圓 C 的方程為 x² + y² − 6x + 8y − 24 = 0。以配方法求圓心坐標及半徑。	答案：配方得 (x − 3)² + (y + 4)² = 49，圓心為 (3, −4)，半徑為 7。（評分要點：兩次配方各 1 分，常數項整理 1 分，圓心與半徑各 0.5 分）
2	判斷點 P(3, 3) 與圓 C 的相對位置，並說明理由。	答案：P 與圓心的距離 = \|3 − (−4)\| = 7，等於半徑，所以 P 在圓上。（評分要點：距離算術 2 分，與半徑比較 1 分，結論 1 分）
3	判斷點 Q(9, −4) 與圓 C 的相對位置，並說明理由。	答案：Q 與圓心的距離 = 6，小於半徑 7，所以 Q 在圓內。（評分要點：距離算術 2 分，比較 1 分，結論 1 分）
4	求圓 C 與 y 軸的交點數目，並說明理由。	答案：令 x = 0 得 y² + 8y − 24 = 0，判別式 = 64 + 96 = 160，大於零，所以有 2 個交點。（評分要點：代 x = 0 得二次方程 1 分，判別式 2 分，結論 1 分）

第二部分：直線與圓相切（18 分）

圓 x² + y² = r² 與直線相切時，圓心到直線的距離剛好等於半徑。切點是圓心向直線所作垂線的垂足，可由圓心與垂線方向直接求出。

#	題目	答案與評分要點
5	直線 L 的方程為 y = x + k，L 與圓 x² + y² = 25 相切。求 k 的兩個可能值。	答案：改寫為 x − y + k = 0，圓心到直線距離 = \|k\| ÷ √2 = 5，得 k = ±5√2，即約 7.1 與 −7.1。（評分要點：距離公式 2 分，令距離等於半徑 2 分，兩個值各 1 分）
6	取 k 為正數，求 L 與圓的切點坐標（以根式表示，並給出一個小數近似值）。	答案：垂足為 (−k ÷ 2, k ÷ 2) = (−5√2 ÷ 2, 5√2 ÷ 2)，約 (−3.5, 3.5)。（評分要點：垂足方向 2 分，坐標各 1 分，近似值 2 分）
7	取 k 為正數，求 L 與兩坐標軸圍成的三角形面積。	答案：截距為 (0, k) 與 (−k, 0)，兩腰均長 k，面積 = k² ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25 平方單位。（評分要點：截距各 1 分，面積公式 2 分，答案 2 分）

第三部分：圓上一點的切線（16 分）

由圓心連到切點的半徑與切線互相垂直，因此兩者斜率的乘積為 −1。求切線方程時，先求半徑斜率，再取負倒數，最後用點斜式寫出方程。

#	題目	答案與評分要點
8	圓 C 的方程為 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0。求圓心坐標及半徑。	答案：(x − 2)² + (y − 3)² = 25，圓心 (2, 3)，半徑 5。（評分要點：配方 2 分，圓心 1 分，半徑 1 分）
9	證明點 A(5, 7) 在圓 C 上。	答案：A 與圓心距離的平方 = 3² + 4² = 25 = 5²，等於半徑的平方，所以 A 在圓上。（評分要點：代入 2 分，比較 1 分，結論 1 分）
10	求圓 C 在點 A 的切線方程，並以一般式表示。	答案：半徑斜率 = 4/3，切線斜率 = −3/4；y − 7 = −3/4 (x − 5)，化簡得 3x + 4y − 43 = 0。（評分要點：半徑斜率 1 分，切線斜率 1 分，方程 2 分）
11	求上述切線在 x 軸上的截距。	答案：令 y = 0 得 3x = 43，x 截距約為 14.3。（評分要點：代 y = 0 得 2 分，解方程 1 分，近似值 1 分）

第四部分：兩圓的位置關聯與根軸（18 分）

比較兩圓圓心距離與半徑和、半徑差，可判定兩圓相交、外切、內切或相離。把兩圓方程相減，二次項互相抵消，所得直線就是根軸。

#	題目	答案與評分要點
12	圓 C1：x² + y² − 4x = 0 與圓 C2：x² + y² − 6y + 8 = 0。求兩圓的圓心及半徑。	答案：C1 圓心 (2, 0)、半徑 2；C2 圓心 (0, 3)、半徑 1。（評分要點：每個圓心 1 分，每個半徑 1 分）
13	判定兩圓的位置關聯，並說明理由。	答案：圓心距離 = √(4 + 9) = √13，約 3.6，大於半徑和 3，所以兩圓外離，沒有交點。（評分要點：圓心距離 2 分，與半徑和比較 1 分，結論 1 分）
14	把兩圓方程相減，求根軸的方程（以一般式表示）。	答案：相減得 −4x + 6y − 8 = 0，即 2x − 3y + 4 = 0。（評分要點：相減步驟 2 分，整理常數 2 分，整理形式 2 分）
15	判斷點 (2, 3) 是否在根軸上，並說明理由。	答案：代入得 4 − 9 + 4 = −3，不等於零，所以該點不在根軸上。（評分要點：代入 2 分，比較 1 分，結論 1 分）

第五部分：圓形性質（16 分）

圓內接四邊形的對角互補，同弧所對的圓周角相等，切線與弦的夾角等於該弦在另一弓形內所對的圓周角。這三條定理是中五圓形題目的主要工具。

#	題目	答案與評分要點
16	圓內接四邊形 ABCD 中，角 A = 3x + 10 度，角 C = 2x + 30 度。求 x 的值，以及角 A 與角 C 的大小。	答案：對角互補，(3x + 10) + (2x + 30) = 180，得 x = 28，角 A = 94 度，角 C = 86 度。（評分要點：列式 2 分，解 x 2 分，兩角各 1 分）
17	A、B、C、D 四點在同一圓上，角 BAC = 34 度，角 ACB = 58 度。求角 ABC 及角 BDC。	答案：三角形內角和得角 ABC = 180 − 34 − 58 = 88 度；同弧 BC 所對圓周角相等，角 BDC = 角 BAC = 34 度。（評分要點：角 ABC 2 分，引用同弧定理 1 分，角 BDC 2 分）
18	圓上一點 A 的切線與弦 AB 的夾角為 52 度。求弦 AB 在另一弓形內所對的圓周角 ACB。	答案：由切線與弦的夾角定理，角 ACB 等於 52 度。（評分要點：指出所用定理 3 分，答案與單位 2 分）

第六部分：直線與圓相交、弦長與中點（16 分）

把直線方程代入圓方程，可得一個二次方程，其判別式決定交點數目。弦的中點就是圓心到直線所作垂線的垂足，因此中點坐標可用垂足公式求出，不必先解出兩個交點。

#	題目	答案與評分要點
19	圓 C：x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0。求圓心及半徑。	答案：(x − 1)² + (y + 2)² = 25，圓心 (1, −2)，半徑 5。（評分要點：配方 2 分，圓心 1 分，半徑 1 分）
20	直線 y = x + 1 與圓 C 相交。以代入法證明有兩個交點。	答案：代入得 2x² + 4x − 15 = 0，判別式 = 16 + 120 = 136，大於零，所以有兩個交點。（評分要點：代入與整理 2 分，判別式 1 分，結論 1 分）
21	求兩交點之間的弦長（以根式表示，並給出一個小數近似值）。	答案：兩根的差 = √136 ÷ 2 = √34，弦長 = √2 × √34 = 2√17，約 8.2。（評分要點：兩根差 2 分，乘 √2 1 分，根式答案與近似值各 0.5 分）
22	求該弦的中點坐標，並用垂足方法驗算。	答案：中點 x = −4 ÷ 4 = −1，y = 0，即 (−1, 0)；圓心到直線垂足亦為 (1 − 2, −2 + 2) = (−1, 0)，兩法一致。（評分要點：中點 2 分，垂足驗算 1 分，結論 1 分）

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