中文（繁體）
中文（簡體）
English
中六數學練習卷：微分、積分與概率分佈（12 題・100 分・75 分鐘・附答案）｜原創模擬試題
練習卷 · 中六數學：微分、積分與概率分佈全卷
本卷 12 題、100 分、75 分鐘，覆蓋中六數學：多項式求導與駐點判別、切線與法線、相關變率、極值應用、定積分與曲線下面積、兩曲線所圍面積與旋轉體體積、梯形法則、由速度求位移與路程，以及二項分佈、正態分佈與離散概率分佈的期望與方差；全部數值由程式自算，附評分要點。
卷面資料 年級：中六（S6） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：75 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部：微分及其應用（24 分）
每題 6 分，須列式或說明推理。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 設 y = 2x³ − 9x² + 12x。(a) 求 dy/dx。(b) 求所有駐點（stationary points）的坐標。(c) 以二階導數判別每個駐點是極大值還是極小值，並寫出對應的極值。 | (a) dy/dx = 6x² − 18x + 12。(b) 令 6x² − 18x + 12 = 0，即 6(x − 1)(x − 2) = 0，得 x = 1 或 x = 2；當 x = 1，y = 5；當 x = 2，y = 4，故駐點為 (1, 5) 與 (2, 4)（各 1 分）。(c) d²y/dx² = 12x − 18。x = 1 時為 −6 < 0，故 (1, 5) 為極大點，極大值 5；x = 2 時為 6 > 0，故 (2, 4) 為極小點，極小值 4。 |
| 2 | 曲線 C 的方程為 y = x³ − 4x，P(2, 0) 為 C 上的一點。(a) 求 C 在 P 點的切線斜率。(b) 求 C 在 P 點的切線方程。(c) 求 C 在 P 點的法線方程，並以 ax + by + c = 0 的形式表示。 | (a) dy/dx = 3x² − 4，在 x = 2 時斜率 = 8。(b) 切線：y − 0 = 8(x − 2)，即 y = 8x − 16。(c) 法線斜率 = −1/8，故 y − 0 = −(1/8)(x − 2)，即 x + 8y − 2 = 0。 |
| 3 | 一個球體的半徑 r cm 以每秒 0.5 cm 的速率增加。體積 V = (4/3)πr³。(a) 求 dV/dr。(b) 當 r = 6 時，求 dV/dt（答案以 π 表示，並取 2 位小數）。(c) 由此估算半徑由 6 cm 增至 6.1 cm 時體積的增加量。 | (a) dV/dr = 4πr²。(b) dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) = 4π(6)²(0.5) = 72π ≈ 226.19 cm³/s。(c) 體積增加 ≈ (dV/dr)×0.1 = 144π × 0.1 = 14.4π ≈ 45.24 cm³。 |
| 4 | 一條長 40 cm 的鐵線圍成一個長方形。設長為 x cm。(a) 以 x 表示長方形的面積 A。(b) 求使 A 為極大的 x，並證明該值確實給出極大面積。(c) 求該最大面積，並指出此時長方形的形狀。 | (a) 2x + 2y = 40，故 y = 20 − x，A = x(20 − x) = 20x − x²。(b) dA/dx = 20 − 2x，令其為 0 得 x = 10；d²A/dx² = −2 < 0，故 x = 10 給出極大值。(c) A = 10 × 10 = 100 cm²，此時長 = 闊 = 10 cm，即正方形。 |
乙部：積分與面積、體積（36 分）
每題 9 分，注意題目各部分的配分。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 設 f(x) = 6x² − 4x + 3。(a) 求 ∫f(x) dx。(b) 求 ∫₀² f(x) dx 的值。(c) 由此求曲線 y = f(x)、x 軸、x = 0 與 x = 2 所圍區域的面積，並說明為何面積相等於 (b) 的答案。 | (a) ∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C。(b) [2x³ − 2x² + 3x]₀² = (16 − 8 + 6) − 0 = 14。(c) 判別式 = (−4)² − 4(6)(3) = −56 < 0，且首項係數 6 > 0，故 f(x) 恆為正，圖形全在 x 軸上方，所以面積 = 定積分值 = 14 平方單位。 |
| 6 | 曲線 y = x² 與直線 y = 2x 相交於兩點。(a) 求這兩個交點。(b) 求兩者所圍區域的面積。(c) 將該區域繞 x 軸旋轉一周，求所得的旋轉體體積（以 π 表示）。 | (a) x² = 2x，即 x(x − 2) = 0，交點為 (0, 0) 與 (2, 4)。(b) 在 0 < x < 2 內 2x > x²，面積 = ∫₀²(2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 平方單位。(c) V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²] dx = π[4x³/3 − x⁵/5]₀² = π(32/3 − 32/5) = 64π/15 ≈ 13.40 立方單位。 |
| 7 | 曲線 y = x² + 1 與直線 x = −1 及 x = 2。(a) 求 ∫₋₁² (x² + 1) dx。(b) 由此求曲線、x 軸與該兩直線所圍區域的面積。(c) 用 h = 1 的梯形法則估算同一面積，並求它與 (b) 的準確值之差。 | (a) [x³/3 + x]₋₁² = (8/3 + 2) − (−1/3 − 1) = 14/3 + 4/3 = 6。(b) 因為 x² + 1 > 0，曲線在 x 軸上方，故面積 = 6 平方單位。(c) 梯形法則：h = 1，y 值依次為 2, 1, 2, 5，估算值 = 1 × [(2 + 5)/2 + 1 + 2] = 6.5；與準確值之差 = 6.5 − 6 = 0.5（高估，因曲線向上彎）。 |
| 8 | 某質點沿直線運動，在時間 t 秒（0 ≤ t ≤ 4）的速度為 v = 3t² − 12t + 9 m/s。(a) 求質點靜止的時刻。(b) 求 t = 0 至 t = 4 之間的位移。(c) 求 t = 0 至 t = 4 之間質點所走的總路程。 | (a) 3t² − 12t + 9 = 0，即 3(t − 1)(t − 3) = 0，故 t = 1 或 t = 3 秒。(b) 位移 = ∫₀⁴ v dt = [t³ − 6t² + 9t]₀⁴ = (64 − 96 + 36) − 0 = 4 m。(c) v 在 (1, 3) 內為負，故須分段取絕對值：|s(1) − s(0)| = 4、|s(3) − s(1)| = 4、|s(4) − s(3)| = 4，總路程 = 4 + 4 + 4 = 12 m。 |
丙部：概率分佈（40 分）
每題 10 分，須作完整計算或解釋。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 9 | 設 X ~ B(10, 0.3)。(a) 求 P(X = 3)（取 4 位小數）。(b) 求 E(X) 與 Var(X)。(c) 求 P(X ≤ 1)（取 4 位小數）。 | (a) P(X = 3) = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷ = 120 × 0.027 × 0.0823543 ≈ 0.2668。(b) E(X) = 10 × 0.3 = 3；Var(X) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1。(c) P(X ≤ 1) = 0.7¹⁰ + 10(0.3)(0.7)⁹ ≈ 0.0282475 + 0.1210608 ≈ 0.1493。 |
| 10 | 某射擊運動員每次射擊命中的概率為 0.25，各次射擊互相獨立。他射擊 8 次，設 X 為命中的次數。(a) 求 P(X = 0)。(b) 求 P(X ≥ 2)。(c) 求 P(X ≤ 3)，並判斷「命中至少 4 次」是否為罕見事件。 | (a) P(X = 0) = 0.75⁸ ≈ 0.1001。(b) P(X ≥ 2) = 1 − P(0) − P(1) = 1 − 0.1001 − 0.2670 ≈ 0.6329。(c) P(X ≤ 3) ≈ 0.1001 + 0.2670 + 0.3115 + 0.2076 ≈ 0.8862，故 P(X ≥ 4) ≈ 0.1138；約 11.4%，並非罕見事件（一般以 5% 為界）。 |
| 11 | 設 X ~ N(50, 25)。(a) 求 P(X > 58)。(b) 求 P(44 < X < 58)。(c) 求 k 使得 P(X < k) = 0.9（已知 P(Z < 1.28) = 0.8997）。 | (a) Z = (58 − 50)/5 = 1.6，P(X > 58) = P(Z > 1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548。(b) Z₁ = (44 − 50)/5 = −1.2，Z₂ = 1.6；P = 0.9452 − 0.1151 = 0.8301。(c) 由 P(Z < 1.28) = 0.8997，k = 50 + 1.28 × 5 = 56.4。 |
| 12 | 設離散隨機變數 X 的概率分佈為 P(X = x) = k(x + 1)，其中 x = 0, 1, 2, 3。(a) 求 k。(b) 求 E(X)。(c) 求 Var(X) 與標準差。 | (a) 所有概率之和為 1：k(1 + 2 + 3 + 4) = 10k = 1，故 k = 0.1。(b) E(X) = 0(0.1) + 1(0.2) + 2(0.3) + 3(0.4) = 2.0。(c) E(X²) = 0 + 0.2 + 4(0.3) + 9(0.4) = 5.0，Var(X) = 5.0 − 2.0² = 1.0，標準差 = 1.0。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。