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中二數學｜多項式四則運算：合併同類項、展開、單項式乘除 備課指引（導師用）｜三個易錯位逐個拆
學生寫 x² + x = x³，因為他認為「加」就是把次方也加起來；另一個展開 (2x+3)(x−4) 只寫兩格，中間項整條消失。這一堂把「同類項、單項式乘除、二項式展開」分成三段練，每段只留一條規矩，最後用代入法讓學生自己抓錯。
本堂目標 學生能夠：① 把 3x² + 2x − 5x² + x 化簡成 −2x² + 3x，並講出同類項的定義是「字母部分完全相同」；② 算出 (3x²y)(4xy²) = 12x³y³ 與 12x³y³ ÷ 3xy = 4x²y²，講出乘法指數相加、除法指數相減；③ 把 (2x+3)(x−4) 展開成 2x² − 5x − 12，並用 x = 1 代回兩邊（皆為 −15）檢查答案。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 指數律 | x² 乘 x³ 等於幾多？ | x⁵，底相同時指數相加 |
| 分配律 | 3(2x + 5) 展開是幾多？ | 6x + 15 |
| 負號處理 | −(2x − 7) 去掉括號是幾多？ | −2x + 7，每一項都要變號 |
02 課堂流程（45 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0–5 分鐘 | 用錯答案開場 | 寫 3x² + 2x − 5x² + x，先叫學生講答案，不即時判斷對錯 | 講出答案並指出哪兩項可以合併 |
| 5–15 分鐘 | 同類項 | 要求學生先圈出字母部分完全一樣的項，再只加減係數 | 自己做 4x²y − 7xy² + 2x²y |
| 15–26 分鐘 | 單項式乘除 | 示範係數相乘、同底指數相加；除法反過來做指數相減 | 做 12x³y³ ÷ 3xy |
| 26–38 分鐘 | 二項式展開 | 用四格面積圖拆 (2x+3)(x−4)，再合併中間兩項 | 自己展開 (x+5)(x−2) |
| 38–43 分鐘 | 代入檢查 | 示範令 x = 1，兩邊都要相等；指出係數總和就是檢查值 | 用 x = 1 檢查自己的答案 |
| 43–45 分鐘 | 離場檢查 | 收回三題，逐題只問「哪兩項是同類項」 | 回答並交回答案紙 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：合併同類項：先圈後加
把 3x² + 2x − 5x² + x 抄成兩行，上面原式、下面圈出 x² 一組與 x 一組。同類項的定義只有一條：字母部分完全相同，字母與次方都要一樣。所以 3x² 與 −5x² 同類，2x 與 x 同類。合併時只動係數：3 − 5 = −2、2 + 1 = 3，答案 −2x² + 3x。學生只要記住「字母部分不動、只加係數」，就不會把 x² 與 x 加起來。
請學生講出「為什麼 x² 與 x 不可以合併」，用一句話講完才算過關
第二幕：單項式乘除：係數與字母分開做
(3x²y)(4xy²)：先把係數 3 乘 4 = 12；再把同底字母的指數相加，x 得 x³、y 得 y³，答案 12x³y³。除法反過來：12x³y³ ÷ 3xy，係數 12 ÷ 3 = 4，x 的指數 3 − 1 = 2、y 的指數 3 − 1 = 2，答案 4x²y²。指數相減到 0 就寫 1，不要留 x⁰。
叫學生講出「除法是指數相減」，並做 6a³b² ÷ 2ab 得 3a²b
第三幕：二項式展開：四格面積圖
畫一個邊長 (2x+3) 與 (x−4) 的長方形，切四格：2x·x = 2x²、2x·(−4) = −8x、3·x = 3x、3·(−4) = −12。四格寫齊之後才合併中間兩項：−8x + 3x = −5x，答案 2x² − 5x − 12。強調「先寫齊四格才准合併」，這一條能擋住九成漏項。
叫學生自己展開 (x+5)(x−2) 並數出四格，答案 x² + 3x − 10
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 合併同類項 | 4x²y − 7xy² + 2x²y | ① 圈字母部分相同的項 ② 只加減係數 ③ 字母部分照抄 | 6x²y − 7xy² |
| 單項式乘法 | (3x²y)(4xy²) | ① 係數相乘 3 × 4 = 12 ② 同底指數相加 ③ 寫成 12x³y³ | 12x³y³ |
| 單項式除法 | 12x³y³ ÷ 3xy | ① 係數相除 12 ÷ 3 = 4 ② 同底指數相減 ③ 指數為 0 寫 1 | 4x²y² |
| 二項式展開 | (2x + 3)(x − 4) | ① 逐項乘出四格 ② 合併中間兩項 ③ 用 x = 1 代回檢查 | 2x² − 5x − 12 |
合理性檢查（一定要教）：展開完一定要代 x = 1 檢查：左邊 (2+3)(1−4) = 5 × (−3) = −15，右邊 2 − 5 − 12 = −15，兩邊相等才收貨。道理很簡單：代 1 之後，每個係數都會原封不動加起來，漏格或符號錯就會對不上。這一步學生自己做得到，導師不用逐題核。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 展開 (x + 5)(x − 2) | x² + 3x − 10 | 中間項有沒有合併正確（3x 不是 −3x） |
| 化簡 5a²b − 2ab² − 3a²b + 6ab² | 2a²b + 4ab² | 有沒有把 a²b 與 ab² 當成同類項 |
| 計算 8x⁴y² ÷ 2x²y | 4x²y | 指數相減的方向對不對 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把不同次方當同類項 | x² + x = x³ | 「x² 是 x 乘 x，x 是一個 x，字母部分不同就不可以合併；合併只加係數，次方不會變。」 |
| 展開漏中間項 | (2x+3)(x−4) = 2x² − 12 | 「四格只填了兩格。先寫齊 2x²、−8x、3x、−12，再合併中間兩項得 −5x。」 |
| 負號只乘第一項 | −(2x − 7) = −2x − 7 | 「括號前的負號等於 −1，要乘進每一項，−7 會變 +7。」 |
| 除法指數減錯方向 | 12x³y³ ÷ 3xy = 4x⁴y⁴ | 「除法是指數相減，不是相加；3 − 1 = 2，所以是 x²。」 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
- 同類項與展開重溫（第 1–4 題） 恒等式與因式分解一章，同一套展開技巧倒過來用
- 化簡後解方程（第 5–6 題） 化簡結果常用在解二元一次方程，順便預習
- 中學數學科索引（自選兩章） 按校內進度自選，下堂講回報
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 化簡 7m² − 3m + 2m² | 9m² − 3m | 同類項概念過關 |
| 展開 (x + 4)(x + 1) | x² + 5x + 4 | 四格展開完整、中間項合併對 |
| 計算 6a³b² ÷ 2ab | 3a²b | 指數相減方向正確 |
09 導師常問
學生常常問：為什麼 x 與 x² 不可以合併？
因為合併同類項其實是抽公因數：3x² + 2x = x(3x + 2)，x 抽不出相同的一次項，兩者不同類。用「字母部分要完全一樣」這一句就夠，不必講到代數結構。
學生展開很慢，可以背公式嗎？
可以，但一定要先做過四格面積圖。背 (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd 之後，學生仍然要靠四格檢查有沒有漏項，所以次序是「先圖、後公式」。
要不要教多項式除法長除法？
中二課程只需要除以單項式。長除法留到中四，現在教會混淆「指數相減」與「逐項相除」兩個概念。
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