DSE 數學｜圓的基本性質備課指引（導師用）

DSE 數學｜圓的基本性質備課指引（導師用）｜圓心角、圓周角與切線

2026-11-05

這一堂解決：學生背齊所有圓的定理，但一見圖就亂加輔助線，講不出為何要用那一條。

本堂目標　①能在圖上標出圓心角與圓周角並講出兩者的兩倍關係；②能用「同弧」與「同一弓形」判斷哪些角相等；③能分辨切線的三個用法：半徑垂直、切線段等長、切線與弦的夾角。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
等腰三角形性質	兩邊相等，底角有什麼關係？	答出底角相等即收貨
三角形內角和	三角形三角相加等於多少？	答 180 度
圓的基本詞彙	半徑、直徑、弦、弧有何分別？	混淆弦與弧要先補兩分鐘

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
5 分鐘	開場診斷	畫一個圓與一條弦，叫學生標出圓心角與圓周角	獨立標，不翻書
8 分鐘	定理地圖	白板畫四格：圓心角、圓周角、切線、圓內接四邊形，每格只寫一句	抄入筆記，每格寫一句
12 分鐘	圓心角與圓周角	由等腰三角形推導圓心角等於圓周角兩倍	跟推一次，再自己推一次
10 分鐘	切線	示範三種切線用法，每種配一題	每種抄一條例題
10 分鐘	實戰題	派兩題綜合題，一題要加輔助線	限時八分鐘

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先用一條弦把圓切開

畫圓，標圓心 O、圓周上一點 A、弦 BC。問：
『圓心角 BOC 與圓周角 BAC，你估邊個大？大幾多？』
收幾個答案後講：『圓周角永遠是圓心角的一半，前提是兩個角都對着同一條弧 BC。』
然後用等腰三角形推一次：OB 等於 OC 是半徑，所以三角形 OBC 兩底角相等，再用外角定理就得證。

學生要講出「對着同一條弧」這個前提，講不出就在圖上用顏色筆把弧 BC 畫實。

第二幕：同弧與同一弓形

在弧 BC 上多取兩點 P、Q，問：『角 BPC 與角 BQC 相等嗎？』
學生答相等之後追問：『如果 P 在另一邊的弧上呢？』帶出圓內接四邊形對角互補。

學生要能說出「同一弓形內的圓周角相等；不同弓形就互補」。

第三幕：切線的三個用法

畫圓外一點 T 引出兩條切線，切點 A、B。問：『TA 同 TB 邊條長？』
再問：『OA 同 AT 夾幾多度？』帶出半徑垂直切線，再用全等三角形證明切線段等長。

三個用法各寫一句到筆記：半徑垂直、切線段等長、切線與弦夾角等於另一弓形的圓周角。

第四幕：綜合題與收尾

給一題同時有切線與圓內接四邊形的圖，示範先連半徑找等腰三角形，再叫學生用三十秒講出四格定理地圖。

學生要講出「見到切點就連半徑」，並口頭覆述四格，不許看筆記。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求角題	圓內接四邊形 ABCD，角 A 等於 85 度，求角 C。	①認出對角互補 ②180 減 85 ③寫出理由	角 C 等於 95 度，因為圓內接四邊形對角互補。
證明題	已知 AT 與 BT 為切線，求證 TA 等於 TB。	①連 OA、OB ②證兩個直角三角形全等 ③對應邊相等	OA 等於 OB（半徑），OT 公共，角 OAT 與角 OBT 均為 90 度，故三角形全等，TA 等於 TB。
平行線與圓	圓上兩弦 AB 與 CD 平行，求證弧 AC 等於弧 BD。	①連 AD ②用內錯角 ③同一弓形圓周角相等	角 BAD 等於角 ADC（內錯角），兩角所對的弧 BD 與弧 AC 相等。
文字應用題	一個圓形花圃，兩條小徑由圓外一點引出並與花圃相切，已知兩切點，求小徑長。	①切線段等長 ②設未知數 ③解方程	設切線段長為 x，用兩條切線等長列式，解得後寫單位。

合理性檢查（一定要教）：角度要合理：圓周角必為圓心角一半，圓內接四邊形對角和為 180 度，三角形內角和不是 180 度就一定錯。切點半徑與切線必成 90 度。不要寫「所有圓周角都等於圓心角一半」而不提同一條弧。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
圖中圓心角為 130 度，求同一條弧所對的圓周角	65 度	有沒有寫「同一條弧」這個條件
圓內接四邊形一角為 70 度，求對角	110 度	有沒有用對角互補而不是用 360 度減
已知切線與弦的夾角為 62 度，求另一弓形的圓周角	62 度	有沒有指出是另一弓形

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
圓周角當成圓心角	呢個角係圓周角，所以係圓心角嘅一半。	「你講咗結論，但邊兩個角對住同一條弧？指畀我睇。」
忽略同一弓形條件	兩個圓周角都對住個圓，所以相等。	「同一條弧先相等；唔同弓形係互補，唔係相等。」
切線當割線	連 OT 就得，唔使理切點。	「切點嗰條半徑一定要連，唔連就冇 90 度可以用。」
輔助線亂加	我加咗三條線但唔知邊條有用。	「每加一條線要講出你想用邊個定理，講唔出就擦走佢。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

S6 圓形軌迹備課指引：第 5 節題型表第 2 行　把圓的方程與圓形性質接上，練習由圖轉式
S6 概率備課指引：第 7 節獨立練習第 1 題　綜合卷常把圓的性質與概率放在同一題組
本科索引：中學數學備課指引　下堂前自選兩章預習

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
寫出圓周角與圓心角的關係及前提	圓周角是圓心角一半，前提是對着同一條弧	漏寫前提，下堂重教第二幕
切線的三個用法各寫一句	半徑垂直切線、切線段等長、切線與弦夾角等於另一弓形圓周角	只寫得一個，需重做切線練習
給一個圖講出第一條輔助線	見到切點就連半徑	講不出，下堂用同一圖再練

09　導師常問

這一章適合哪一年級

中五為主；中四下學期若已教完三角形全等，可提前用第一幕。

45 分鐘夠不夠

夠。四格定理地圖只講四句，其餘時間全部用來做圖，不做純文字推導。

要不要背定理編號

不用。要求學生講出「對着哪條弧」與「哪個是切點」，比背編號有用。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。