DSE 數學｜三角函數圖像與變換備課指引（導師用）

DSE 數學｜三角函數圖像與變換備課指引（導師用）｜一條式讀齊四個參數

2026-11-03

學生見到 3 sin(2x − 60°) 就亂，四個數字互相打架。這一堂給一個固定次序：先讀振幅、再算週期、再把括號內的常數除開做平移、最後用五點定位畫圖，讓每一步只改一個東西。

本堂目標　學生能夠：① 講出 y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅 3、週期 180°；② 算出相位平移是右移 30°（不是 60°）；③ 定位最大值在 x = 75°、最小值在 x = 165°、零點在 30° 與 120°；④ 用同一套次序處理 y = −2 cos(3x) + 1，得振幅 2、週期 120°、最大值 3、最小值 −1。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
正弦的基本形	y = sin x 的最大值與最小值	1 與 −1
週期定義	y = sin 2x 在 0° 到 360° 內重複幾次	2 次，即週期 180°
解簡單方程	sin θ = 1 時 θ 最小正角	90°
負號的意義	y = −f(x) 的圖像怎樣變	沿 x 軸反射

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	開場對比	同時畫 y = sin x 與 y = 3 sin 2x	講出「高咗」與「密咗」
8–18 分	振幅	指出振幅只看 sin 前面的數	自己讀出三個式子的振幅
18–30 分	週期	示範 360 ÷ 2 = 180	自己算 3x 的週期
30–44 分	相位平移	把 2x − 60 寫成 2(x − 30)	自己解釋為何是右移 30°
44–52 分	五點定位	用 30、75、120、165 四個關鍵 x 畫圖	自己標出最大最小與零點
52–60 分	獨立練習	兩題限時 8 分鐘	對答案並講出錯在哪個參數

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：振幅只看前面的數，正負號只管方向

y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅是 3，因為 sin 的輸出最多 1，乘 3 就最多 3。若前面是負數，例如 −2 cos 3x，振幅仍然是 2，負號只是把圖上下反轉，最大值變成 +2、最小值 −2。學生最常把負號當成「振幅是負」，之後所有最大最小值都錯。要他們每次都寫「振幅 = |a|」。

要學生講出 y = −4 sin x 的振幅，並指出最大值在哪裏。

第二幕：週期是 360 除 x 前面的數

2x 表示在 0° 到 360° 之間跑了兩個完整循環，所以一個循環只需 180°。同理 3x 的週期是 120°。這一條與振幅完全獨立，先後次序不能亂：先讀 a 得振幅，再讀 b 得週期，兩者不會互相影響。給學生一個快查：週期乘 b 一定等於 360。

要學生用「週期 × b = 360」檢查 y = sin 4x 的週期。

第三幕：括號內的常數要先除開才是平移

2x − 60 提出 2 寫成 2(x − 30)，所以是右移 30°，不是 60°。這是最多數人失分的地方，因為他們把 −60 直接當平移。除開之後，最大值出現在 2(x − 30) = 90，即 x = 75°；最小值在 2(x − 30) = 270，即 x = 165°；零點在 x = 30° 與 120°。四個位置都有同一個來源，學生只要記住「先除再解」。

要學生算出 y = sin(3x + 90°) 的平移方向與角度。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
讀參數	y = 3 sin(2x − 60°)	① 振幅 = \|a\| ② 週期 = 360 ÷ b ③ 平移 = 括號常數 ÷ b	振幅 3、週期 180°、右移 30°
找極值位置	同上，求最大值所在 x	① 令括號 = 90 ② 解 x ③ 檢查是否在指定區間	x = 75°
解零點	同上，求 0° 至 180° 內的零點	① 令括號 = 0 與 180 ② 解 x ③ 排序	30° 與 120°
含負號與上下平移	y = −2 cos(3x) + 1	① 振幅 2 ② 週期 120° ③ 上下平移令極值加 1	最大 3、最小 −1

合理性檢查（一定要教）：一致性檢查：最大值減最小值一定等於 2 × 振幅；3 與 −3 相差 6，等於 2 × 3。零點之間相隔半個週期，30° 與 120° 相差 90°，剛好是 180° 的一半。最大值 75° 與最小值 165° 也相差 90°。任何一項對不上，就代表平移或週期其中一個算錯。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
y = 5 sin(4x) 的振幅與週期	振幅 5、週期 90°	有無用 360 ÷ 4
y = sin(2x + 40°) 的平移	左移 20°	有無先除 2
y = −2 cos(3x) + 1 的最大值	3	有無記得加 1

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
平移直接用括號常數	「2x − 60 即左移 60°」	「要先提出 2：2(x − 30)，括號內減 30 才代表右移 30°；你講左移，連方向都反了。」
負號當負振幅	「y = −2 cos x 的振幅是 −2」	「振幅是距離，一定正數；負號只是把圖上下反轉，寫 \|−2\| = 2。」
週期用 360 × b	「y = sin 2x 的週期是 720°」	「跑了兩圈應該更快完成一圈；週期乘 b 要等於 360，所以是 180°。」
極值位置不看區間	「最大值在 75°，所以 0° 至 60° 內最大值在 75°」	「75° 不在你畫的區間內；要在端點與區間內關鍵點一齊比較。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

數學科章節索引　先重溫「指數與對數」，再做卷內第 1、2 題
指數與對數　第 3 題同樣考圖像變換
圓的性質　只做選擇題，練參數判讀

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅	3	錯：把負號或 60 當振幅
同一式的週期	180°	錯：用 360 × 2
同一式的相位平移	右移 30°	錯：直接右移 60°
最大值所在的 x（0° 至 180°）	75°	錯：令括號等於 0

09　導師常問

點解要提出 b 才看平移？

因為平移是對 x 本身而言；2x − 60 要寫成 2(x − 30) 才看到 x 被減了 30。

tan 的週期是否一樣算法？

tan 的基本週期是 180°，所以是 180 ÷ b，不是 360 ÷ b。

可以只靠五點畫圖嗎？

五點足夠定出一個週期內的形狀；考試若要求準確圖形，還要標明軸截距與漸近線。

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