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DSE M1 模拟试卷（2027 年考期）：卷一卷制 100%、150 分钟，8 短题＋3 长题附答案
TUTORZONE 原创模拟试卷 · DSE 数学延伸部分 单元一 微积分与统计
依考评局 2027 年评核大纲编写：数学延伸部分单元一 微积分与统计只有一卷、占全科 100%、时间 2 小时 30 分钟，甲部 50 分（8–12 条短题）、乙部 50 分（3–5 条长题），全部必答，并提供统计表。本卷 8 题短题＋3 题长题，配逐题答案与评分要点。
问：DSE M1（微积分与统计）考什么、占多少？
直接答案：数学延伸部分单元一（M1）只有一卷，占全科 100%、时间 2 小时 30 分钟，全部必答：甲部 50 分（8–12 条短题）、乙部 50 分（3–5 条长题），并提供统计表。M1 不设校本评核。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| 甲部（短题） | 8–12 条短题，共 50 分 | 50 | 约 60–70 分钟 |
| 乙部（长题） | 3–5 条长题，共 50 分 | 50 | 约 70–80 分钟 |
| 考试工具 | 提供统计表（分布表）；可使用计算机 | — | — |
150 分钟：甲部约 60–70 分钟、乙部约 70–80 分钟。M1 的分数集中在“模型—代入—答案”，分布题一定要写出 X ~ B(n, p) 等记号，否则即使答案对也可能不给分。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创模拟试卷：题目按 2027 年考期评核大纲的卷制（单卷 100%、2 小时 30 分钟、甲部 50 分、乙部 50 分）自行编写，答案与评分要点均为自行演算，并非考评局历届试题或官方评卷参考。
考评局并未公布固定题数，所以本卷自行设定 8 题短题＋3 题长题；所有数值答案已用程式复核（包括二项、常态、几何分布的概率）。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| 甲部（短题） | 50 | 约 60–70 分钟 | 微分、积分、二项展开要反射式完成 |
| 乙部（长题） | 50 | 约 70–80 分钟 | 先写公式再代入；单位与有效数字要齐 |
| 考试工具 | — | 查表前先确认自由度与分布类型 | 分布题写清 X 的分布与参数 |
问：150 分钟怎样分配？
直接答案：建议 甲部 60–70 分钟、乙部 70–80 分钟。甲部要“见到就写”；乙部先写公式与分布记号（例如 X ~ B(n, p)），再代入，最后写答案与有效数字。
甲部：短题（8 题，共 50 分）
建议 60–70 分钟。微分与积分题先写公式。
第 1 题 （5 分）
设 y = 3x³ − 2x + 5。(a) 求 dy/dx；(b) 求 x = −1 时的 dy/dx。
第 2 题 （6 分）
计算 ∫₀² (6x² − 4x + 1) dx。
第 3 题 （6 分）
求 (1 + 2x)⁶ 展开式中 x³ 的系数。
第 4 题 （6 分）
某放射性物质的半衰期为 20 年。现有 80 mg，求 60 年后剩余的质量。
第 5 题 （6 分）
设 X ~ B(10, 0.3)。求 P(X = 3)（准确至 4 位小数）。
第 6 题 （7 分）
设常态分布 X ~ N(60, 8²)。求 P(X > 76)。
第 7 题 （7 分）
设几何分布 X 的成功概率 p = 0.2。求 P(X = 4)。
第 8 题 （7 分）
求函数 y = x² − 6x + 5 的极小点及其极小值。
乙部：长题（3 题，共 50 分）
建议 70–80 分钟。分布题要写出 X ~ B(n, p) 等记号，并写明所用公式。
第 1 题 （17 分）
某水箱的水量 V（升）随时间 t（年）变化：V = 100(1 − e−0.05t)。
(a) 求当 t → ∞ 时 V 的极限值；(b) 求 t = 10 时的水量（3 位有效数字）；(c) 求 dV/dt，并求 t = 10 时的变化率（3 位有效数字）；(d) 解释 (c) 的数值在减少还是增加，并说明原因。
第 2 题 （17 分）
某机器生产的次品率为 5%，随机抽出 20 件。
(a) 写出合适的分布并说明理由；(b) 求恰有 2 件次品的概率（4 位小数）；(c) 求至少有 1 件次品的概率（4 位小数）；(d) 若改为抽 40 件，为何以近似分布计算较方便？
第 3 题 （16 分）
曲线 y = 4 − x² 与 x 轴围成一个区域。
(a) 求两者的交点；(b) 求该区域的面积；(c) 说明为何计算面积时不需要把结果取负值处理。
问：答案在哪里？有步骤吗？
直接答案：每题之后都有“答案与评分要点”，写出公式、代入、答案与该步分数（例如常态分布题：z 值 3 分、查表 4 分），长题更会分拆 (a)(b)(c)(d) 逐项比分。
甲部答案与评分要点
第 1 题
(a) dy/dx = 9x² − 2（3 分）；(b) 9(−1)² − 2 = 7（2 分）。
第 2 题
原函数 = 2x³ − 2x² + x（3 分）；代入 2：16 − 8 + 2 = 10；代入 0：0 → 10（3 分）。
第 3 题
一般项 = C(6,r)(2x)ʳ；r = 3 → C(6,3) × 2³ = 20 × 8 = 160（6 分）。
第 4 题
60 年 = 3 个半衰期（3 分）；80 × (1/2)³ = 10 mg（3 分）。
第 5 题
P = C(10,3)(0.3)³(0.7)⁷（3 分）= 0.2668（3 分）。
第 6 题
z = (76 − 60) ÷ 8 = 2（3 分）；查表 P(Z > 2) = 0.0228（4 分）。
第 7 题
P(X = 4) = (0.8)³ × 0.2（4 分）= 0.1024（3 分）。
第 8 题
dy/dx = 2x − 6 = 0 → x = 3（3 分）；y = 9 − 18 + 5 = −4（3 分）；故极小点为 (3, −4)（1 分）。
乙部答案与评分要点
第 1 题
(a) 当 t → ∞，e−0.05t → 0，故 V → 100 升（3 分）；(b) V = 100(1 − e−0.5) = 100(1 − 0.6065) = 39.3 升（4 分）；(c) dV/dt = 100 × 0.05 e−0.05t = 5e−0.05t（5 分）；t = 10 → 5 × 0.6065 = 3.03 升／年（3 分）；(d) 变化率正在减少，因为 e−0.05t 随 t 下降，dV/dt 亦随之下降（趋向 0）（2 分）。
第 2 题
(a) 二项分布 B(20, 0.05)（3 分）——固定次数、每次独立、只有成功／失败两种结果且概率固定（2 分）；(b) C(20,2)(0.05)²(0.95)¹⁸ = 0.1887（5 分）；(c) 1 − 0.95²⁰ = 0.6415（4 分）；(d) 当 n 大而 p 小，可用 泊松分布（λ = np = 2）近似，计算较简单（3 分）。
第 3 题
(a) 4 − x² = 0 → x = ±2，交点为 (−2, 0) 与 (2, 0)（4 分）；(b) 面积 = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67（8 分）；(c) 因为在 −2 至 2 之间曲线全部在 x 轴之上（4 − x² > 0），定积分本身已为正值，无需分段取绝对值（4 分）。
问：M1 最容易失分的地方在哪里？
直接答案：①分布题不写记号与参数；②常态分布不写 z 的计算；③定积分漏上下限；④几何分布与二项分布公式互换。这四项都是“答案对但格式不足”的失分。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 分布题不写记号 | 直接写概率数字 | 题目要求写出分布与参数，否则扣分 | 先写 X ~ B(20, 0.05)，再写 P(X = 2) = … |
| 忘记转换 z 值 | 直接查表而不用标准化 | 常态分布题必须写出 z 的计算 | 写 z = (x − μ) ÷ σ 再查表 |
| 定积分漏上下限 | 只写原函数 | 定积分要代入上下限并相减 | 写 [F(x)] 之后即刻代入两个边界 |
| 几何分布与二项分布混淆 | 两者公式互换 | 几何分布是“第几次才成功”，二项是“n 次中成功几次” | 先判断题目问边一种再落公式 |
怎样用这份卷
第一次做：关掉参考资料（只留统计表）、完整计时 150 分钟。
对答案：分布题逐项核对记号、参数、公式、答案四项。
第二次做：三至七日后重做，目标 120 分钟内完成并把所有记号写齐。
问：做完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把微分、积分、二项展开练到反射；②把三种分布（二项、几何、常态）的公式与记号写成一页；③按课题补做历届试题；④三至七日后重做本卷，目标 120 分钟内完成。
常见问题 FAQ
这份卷同考评局试题有关吗？
没有。题目、答案与评分要点都是 TutorZone 原创；只有卷制数字（100%、2 小时 30 分钟、甲 50 分／乙 50 分）取自考评局 2027 年评核大纲。
M1 有校本评核吗？
没有。数学延伸部分只有公开试一卷，占 100%。
考试时提供统计表吗？
是。M1 试卷附统计表（分布表），可用计算机；查表时要确认自由度与分布类型。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| 考评局《2027 年香港中学文凭考试数学科评核大纲》（含延伸部分） | 核对 M1 单卷 100%／2 小时 30 分钟、甲 50 分／乙 50 分与题数范围 |
| https://www.tutorzone.com.hk/dse-m1-paper-drill-guide/ | DSE M1 刷题攻略：时间分配与分布题写法 |
