中三數學｜二次方程應用：速率、幾何與取捨負根備課指引（導師用）

2026-11-15

學生識用公式解 x²+3x−40=0，但一見到「長比闊多 3 cm、面積 40 cm²」就停手，因為他們分不清「哪一個是未知數」與「哪一個是條件」。這一堂只做三件事：設好未知數、寫出方程、把不合物理的第二個根捨掉。

本堂目標　學生能夠：① 由一段文字題設出一個未知數，並把其餘資料寫成同一個未知數的代數式；② 分別用「面積等於長乘闊」與「時間等於距離除以速率」兩類模型寫出二次方程並求解；③ 講出為何要捨去其中一個根，並用代入法核對剩下那個根符合題意。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
解二次方程	x²−5x+6=0 的兩個根是什麼？	2 與 3
因式分解	x²+3x−40 可以分解成什麼？	(x+8)(x−5)
速率公式	速率、時間、距離三者的關係寫出來	時間 = 距離 ÷ 速率

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分鐘	一個停手位	寫「長比闊多 3，面積 40」，問學生第一步做什麼	答：先設闊做 x
5–14 分鐘	設未知數	示範把「長」寫成 x+3，要學生填表：闊 x、長 x+3、面積 x(x+3)	自己寫出三個代數式
14–29 分鐘	兩個模型	先做面積模型 x(x+3)=40，再做速率模型 60/v+60/(v+10)=5	講出每個模型對應哪一條公式
29–38 分鐘	捨根	兩個根一正一負，問「闊可不可以是負數」，示範寫「負根不合，故闊 5」	自己寫出捨根那句
38–42 分鐘	獨立練習	發三題（面積、連續整數、直角三角形），巡行只問「設了誰做 x」	先寫設未知數才落方程
42–45 分鐘	離場檢查	收答案，口頭問「另一個根為什麼不要」	答：不符合題意的實際範圍

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一步永遠是設未知數

見到文字題不要即刻抄數字，先問「題目要我找什麼」。把要找的那個量設做 x，其餘全部寫成 x 的式子。「長比闊多 3」的意思是長 = x+3，不是長 = 3。「面積 40」的意思是 x 乘 (x+3) 等於 40，這就是方程。叫學生用一句話講出他們設了什麼做 x。

叫學生講出他們設了哪個量做 x

第二幕：兩個模型：面積與時間

面積模型來來去去都是長乘闊等於面積；速率模型只有一條路：時間 = 距離 ÷ 速率，去程與回程分開寫再相加。去程 60 km、速率 v，時間就是 60 除以 v；回程速率快 10，時間就是 60 除以 (v+10)。兩段時間相加等於 5 小時，方程就出來。學生最常把「速率快 10」寫成「時間少 10」，你要他讀一次單位。

叫學生講出去程與回程的時間怎樣寫

第三幕：兩個根只有一個合物理

二次方程一定有兩個根，但應用題的答案要合物理：闊、長、速率、時間都不可以是負數。解出 x=5 與 x=−8，就要寫一句「x 為闊，不可為負，故 x=5」。這句不是禮貌，是得分位；沒有寫就當你未完成。最後用代回原題檢查：闊 5、長 8、面積 40，對得上才算做完。

叫學生講出為何要捨去負根

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
面積模型	長方形的長比闊多 3 cm，面積 40 cm²，求闊。	1) 設闊 x，長 x+3。2) 寫 x(x+3)=40。3) 整理成 x²+3x−40=0 並分解	闊 5 cm，長 8 cm
連續整數	兩個連續正整數的積是 72，求較小的一個。	1) 設較小為 x，較大為 x+1。2) 寫 x(x+1)=72。3) 解 x²+x−72=0	x=8（另一個根 −9 不合正整數）
速率時間	汽車以速率 v 走 60 km，回程快 10 km/h，全程 5 小時，求 v。	1) 去程時間 60÷v。2) 回程 60÷(v+10)。3) 相加等於 5，兩邊乘 v(v+10)	v=20 km/h（−6 不合）
幾何勾股	直角三角形兩股相差 7 cm，斜邊 13 cm，求較短股。	1) 設短股 x，長股 x+7。2) 用 x²+(x+7)²=13²。3) 化簡成 x²+7x−60=0	5 cm（另一根 −12 不合）

合理性檢查（一定要教）：三個檢查：一是設得對不對，把答案代回原文的每一句，長是否真的多 3、面積是否真的 40；二是根的數目，二次方程一定要有兩個根，只得一個通常表示漏了其中一個或忘了移項；三是範圍，速率、長度、時間都要正數，兩根皆負或一正一負就要寫捨根句。數值核對：5 與 8 相差 3、相乘 40；5、12、13 滿足 25 加 144 等於 169，這兩個組合可以用來即場檢查學生答案。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
兩個連續正整數的積是 72，求較小的一個。	8	有冇用 x 與 x+1 而唔是用 x 與 x+2
長方形的長比闊多 3 cm，面積 40 cm²，求闊。	5 cm	有冇把「多 3」寫成 x−3
直角三角形兩股相差 7 cm，斜邊 13 cm，求較短股。	5 cm	有冇用 x²+(x+7)²=169 而漏了平方

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
「多 3」寫成減 3	長 = x−3，面積 x(x−3)=40	長比闊多，所以長是 x 加 3，不是減 3
速率快 10 當時間少 10	去程 60÷v、回程 60÷v−10	速率要放入分母：回程是 60 除以 (v+10)
忘記寫捨根句	x=5 或 x=−8，答案 5 或 −8	寫一句：闊不可為負，故 x=5
解完不代回	計到 5 就收筆	代回原文：長 8、面積 5 乘 8 等於 40，對得上才算完

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

二次方程公式與判別式，第 3 題　先判別式大於 0 才肯定有兩個實根
聯立一次方程消元法，第 2 題　同樣是先設未知數再落方程
多項式運算，第 4 題　展開時漏一項就會令方程解錯

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
一個數的平方等於這個數的 6 倍，求這個非零數。	6	答 0 或只寫「6 或 0」表示未讀「非零」
速率方程解出 v=20 或 v=−6，答案怎樣寫？	20 km/h，−6 不合因為速率不可為負	只寫 20 而沒有講理由，要補捨根句
長方形的闊 x、長 x+5、面積 24，求闊。	3	答 8 表示混淆了闊與長

09　導師常問

中三要不要背公式？

應用題多數可以用因式分解處理，本堂的方程都能分解。真的分解不到才用公式，公式與判別式那一章已經處理。

速率題要不要畫表？

要。畫兩行（去程、回程），三欄（距離、速率、時間），把已知數字填進去，方程自然浮出來，比硬記快。

學生堅持寫兩個答案怎麼辦？

叫他代入原文讀一次：「闊是負 8 厘米」讀出來就會自己笑。用讀句法比講道理有效。

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