中三數學｜二次方程求解：配方法、公式法與判別式備課指引（導師用）

2026-11-14

學生一到二次方程就背公式，但一問「為什麼要寫正負」就答不出，於是每次漏一個根。這一堂要由配方法親手砌出公式，再用判別式一個數字講清實根數目，最後把「代回原式檢查」變成習慣動作。

本堂目標　學生能夠：① 用配方法把 x² + bx + c = 0 化成 (x + b/2)² = k 並解出兩個根；② 正確抄出 a、b、c 並用公式法求解，包括負數根與分數根；③ 用判別式 D = b² − 4ac 判斷實根數目（兩個、一個、無），並講出它對應拋物線與 x 軸的交點數目。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
因式分解	x² − 5x + 6 可以分解成什麼？	(x − 2)(x − 3)，兩數相加 −5、相乘 6
平方根	9 的平方根有幾個？	兩個：3 和 −3，所以開根要寫 ±
面積與周界	長方形長 6 寬 4，面積與周界各是多少？	面積 24，周界 20

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分鐘	兩條方程熱身	板上寫 x² − 5x + 6 = 0 與 x² = 9，只問「各有幾個解」	講出解並數出數目
5–15 分鐘	配方法	把 x² + 6x + 5 = 0 寫成 (x + 3)² = 4，示範兩邊同步加同一個數	自己完成 x² + 8x + 7 = 0 的配方
15–27 分鐘	公式法	由 ax² + bx + c = 0 推出 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，用 2x² − 3x − 2 = 0 走一次	用公式完成一題並先寫出 a、b、c
27–37 分鐘	判別式	示範 D = b² − 4ac：25 兩實根、0 重根、−3 無實根，配三幅拋物線對應	判斷三條方程各有幾個實根
37–43 分鐘	根的關係與應用	講和 = −b/a、積 = c/a，再用周界 20、面積 24 的長方形建立方程	由文字題列出方程並解
43–45 分鐘	離場檢查	收回三題：一題配方、一題判別式、一題根的和積	作答並交回

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：配方法：不是背，是左右同步加

配方法的核心只有一句：把 x² + bx 加上 (b/2)² 就成完全平方，因為 (x + b/2)² = x² + bx + (b/2)²。要學生習慣「左邊加了，右邊同步加同一個數」。以 x² + 6x + 5 = 0 為例：b = 6，b/2 = 3，兩邊加 9 → x² + 6x + 9 = 4 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 或 −5。三個檢查位：① b/2 要連符號一齊取，b 是負數時 (b/2)² 仍然是正；② 開根要寫 ±，漏 ± 就少一個解；③ 首項係數不是 1 時（例如 2x² + 8x − 10 = 0），要先整條除以 2。

叫學生做 x² + 8x + 7 = 0，並講出「兩邊加了 16」，答案 x = −1 或 −7

第二幕：公式法：a、b、c 抄錯就全題錯

由 ax² + bx + c = 0（a 不等於 0）得 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。學生第一步不是代數，而是把方程整理成右邊等於 0 的標準式，再逐個抄 a、b、c 並連符號。以 2x² − 3x − 2 = 0 為例：a = 2、b = −3、c = −2，b² − 4ac = 9 + 16 = 25，√25 = 5，x = (3 ± 5) / 4，得 x = 2 或 x = −0.5。三個常見抄錯：未整理就抄（x² = 5x − 6 直接當 b = 5、c = −6）、把 −b 寫成 b、把 2a 寫成 a。

叫學生講出 x² − 4x − 12 = 0 的 a、b、c，再算出 D = 64 與兩個根 6、−2

第三幕：判別式：一個數字講三個故事

D = b² − 4ac 決定實根數目，因為它就在根號裡面：D 大於 0 有兩個不同實根（拋物線與 x 軸交兩點）、D 等於 0 有一個重根（頂點貼著 x 軸）、D 小於 0 無實根（整條線在 x 軸上方或下方）。例子：x² + 4x + 4 的 D = 16 − 16 = 0，重根 x = −2；x² + x + 1 的 D = 1 − 4 = −3，無實根。要提醒 D 小於 0 不等於「無解」，而是「無實根」，中三只處理實數。

給三條方程，要求只計 D 就講出實根數目，並在草稿畫對應拋物線

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
配方法求根	用配方法解 x² + 6x + 5 = 0。	① 取 b/2 = 3 ② 兩邊加 9 ③ 開根寫 ± ④ 寫出兩個根	x = −1 或 x = −5
公式法	解 2x² − 3x − 2 = 0。	① 確認為標準式 ② 抄 a = 2、b = −3、c = −2 ③ 算 D = 25 ④ 代公式	x = 2 或 x = −0.5
判別式判斷	判斷 x² + x + 1 = 0 有幾個實根。	① 抄 a、b、c ② 算 D = −3 ③ D 小於 0 ④ 答無實根	0 個實根（D = −3）
文字題建模	長方形周界 20、面積 24，求邊長。	① 設闊 w、長 w + 2 ② 列 w(w + 2) = 24 ③ 整理成 w² + 2w − 24 = 0 ④ 解得 4 與 6	闊 4、長 6

合理性檢查（一定要教）：每次做完做三重檢查。第一重代入：把根代回原方程，兩邊要相等（2 與 −0.5 代 2x² − 3x − 2 都得 0）。第二重數目：二次方程最多兩個實根，計出三個或一個半就一定有錯，D 的符號要與根的數目一致。第三重情境：文字題的根如果是負數而代表長度，要主動剔除並寫明理由，不可以照寫「邊長 −8」。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
用配方法解 x² + 8x + 7 = 0。	x = −1 或 x = −7（兩邊加 16）	有無同步加 16、有無寫 ±
判斷 3x² − 6x + 3 = 0 有幾個實根。	1 個（D = 36 − 36 = 0，重根 x = 1）	有無算出 D = 0 並講重根
長方形周界 20、面積 24，求闊。	闊 4（長 6）	有無剔除負根並講理由

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
開根漏 ±	x² = 9，所以 x = 3。	「平方根有兩個：x 等於正負 3。漏一個等於方程只解了一半，答案要兩個都寫。」
未整理就抄 a、b、c	x² = 5x − 6，所以 b = 5、c = −6。	「先把右邊搬去左邊變成 x² − 5x + 6 = 0，b 才係 −5、c 係 6。符號是搬項時決定的，不是睇原位。」
判別式當成解	D = −3，所以 x = −3。	「D 只講有幾個實根，唔係根本身。D 小於 0 代表無實根，唔係根等於 −3。」
負根照收	邊長解到 −8 和 3，所以邊長是 −8。	「邊長唔可以負。兩個根都要計，但要逐個對情境，唔合理的要寫明剔除同理由。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

二次方程因式分解（第 1–5 題）　先練分解再練公式，分解得快可以省時間
直線方程（第 2–4 題）　斜率和截距的符號處理，同今堂抄 a、b、c 一樣要小心
中學數學索引（挑 2 份代數卷計時）　20 分鐘計時，重點看有無寫 ± 與做代入檢查

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
x² = 16 的兩個根是？	4 和 −4	少一個要重講 ± 的來源
x² + 2x + 5 的判別式是多少，有幾個實根？	D = 4 − 20 = −16，無實根	答得出負數並講無實根＝過關
二次方程最多有幾個實根？	兩個	答三個代表公式或開根步驟有誤

09　導師常問

為什麼不直接教公式法，要教配方法？

因為配方法是公式的來源。學生親手砌過 (x + b/2)²，就不會把 2a 寫成 a、把 −b 寫成 b。而且部分題目直接要求「用配方法」，跳過就等於放棄整題。

D 小於 0 是否等於無解？

嚴格講是無實根，方程在複數範圍仍有解。中三答「無實根」最安全；學生問起就講「中三只處理實數」。

文字題的負根要寫出來嗎？

要寫出計算過程的兩個根，然後逐個對情境。直接丟掉負根會失步驟分，寫「−8 不合，因為長度不能為負」才是完整答案。

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