中三數學｜聯立一次方程：代入法、加減消元與解的數目備課指引（導師用）

2026-11-14

學生識解聯立方程，但九成錯在最後一步：計到 x 就收手，忘記代回求 y；又或者兩條式乘同一個倍數，令消元失效。這一堂把「一式一代」與「一加一減」講成機械動作，再用解的數目收尾。

本堂目標　學生能夠：① 用代入法解聯立方程（其中一條可寫成 x = … 或 y = …）；② 用加減消元法解兩條都是一般式的方程，包括需要乘倍數的版本；③ 由斜率與截距判斷解的數目（一個交點、平行無解、重合無限多解），並在兩未知數文字題中設未知數、列兩條方程。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
解一元一次方程	3x + 5 = 17，x 是多少？	4，兩邊先減 5 再除 3
移項與符號	由 x + y = 7 寫出 x = ?	x = 7 − y，移項要變號
直線的斜率	y = 2x + 1 與 y = 2x − 3 的斜率是否相同？	相同，都是 2，所以兩線平行

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分鐘	一個方程不足	寫 x + y = 7，問 x 是多少，迫出「一個方程兩個未知數，解唔到唯一答案」	講出要有第二條方程
5–15 分鐘	代入法	用 x + y = 7、x − y = 1：由第二式得 x = y + 1，代入第一式解 y = 3，代回得 x = 4	自己走一次，並寫出代回那一步
15–27 分鐘	加減消元	用 3x + 2y = 16、3x − 2y = 8 相加得 6x = 24；再做 3x + 2y = 12、5x − 3y = 1 的乘倍數版	完成一題要乘倍數的，並檢查常數有無一齊乘
27–37 分鐘	解的數目	畫三組直線：相交、平行、重合，對應一個解、無解、無限多解	由方程直接判斷屬於哪一類
37–43 分鐘	兩未知數應用題	成人 95 元、小童 50 元：2 成人 + 3 小童 = 340、1 成人 + 2 小童 = 195，設 a、c 兩條方程	設未知數、列方程、解並寫單位
43–45 分鐘	離場檢查	收回三題：一題代入、一題消元、一題判斷解的數目	作答並交回

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：代入法：一式一代，先執好一邊

代入法的機械動作只有三步：把其中一條方程寫成「一個未知數等於……」（x = 7 − y），代進另一條方程（把 x 換成 7 − y），解出剩下的一個未知數。以 x + y = 7、x − y = 1 為例：由第二式得 x = y + 1，代入第一式得 (y + 1) + y = 7 → 2y = 6 → y = 3，代回 x = 4。最常出錯是「代完就當完成」：方程組的答案是一對數字 (x, y)，一定要寫齊兩個，並用另一條方程驗一次。

叫學生用代入法解 y = 2x、x + y = 9，並講出為什麼代完要代回（答案 x = 3、y = 6）

第二幕：加減消元：目標是消走一個未知數

消元的前提是同一未知數的係數「數字相同、符號相反」就用加，「數字相同、符號相同」就用減。3x + 2y = 16 與 3x − 2y = 8 相加，2y 與 −2y 抵銷，得 6x = 24，x = 4，代回得 y = 2。係數不同就要先乘：3x + 2y = 12 與 5x − 3y = 1，第一式乘 3、第二式乘 2，得 9x + 6y = 36 與 10x − 6y = 2，相加 19x = 38，x = 2，代回 y = 3。關鍵紀律：兩條式要乘不同的倍數，而且每一項都要乘，包括右邊的常數項。

叫學生講出「要消 y 的話兩條式各乘幾」，並檢查常數項有無跟住乘

第三幕：解的數目：斜率相同就平行

兩條一次方程各自是一條直線，交點就是解。斜率不同 → 一個交點、唯一解；斜率相同而截距不同 → 平行、無解；斜率與截距都相同 → 同一條線、無限多解。把方程整理成 y = mx + c 就可以直接比較 m 與 c，例如 y = 2x + 1 與 2y = 4x + 2 其實是同一條線（第二式整條除 2 就一樣）。學生常把「無解」寫成「x = 0」，要提醒無解代表兩線永遠不碰，任何一對數都不成立。

給三組方程，只要求講出「有幾個解」並講出理由（比較 m 與 c）

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
代入法	解 x + y = 7、x − y = 1。	① 由第二式寫 x = y + 1 ② 代入第一式 ③ 解 y = 3 ④ 代回 x = 4 ⑤ 用第一式驗	x = 4、y = 3
加減消元	解 3x + 2y = 16、3x − 2y = 8。	① 兩式相加消 y ② 6x = 24 ③ x = 4 ④ 代回得 y = 2	x = 4、y = 2
需要乘倍數	解 3x + 2y = 12、5x − 3y = 1。	① 第一式乘 3、第二式乘 2 ② 相加得 19x = 38 ③ x = 2 ④ 代回 y = 3	x = 2、y = 3
解的數目	y = 2x + 1 與 y = 2x − 3 有幾個解？	① 比較斜率同為 2 ② 截距 1 與 −3 不同 ③ 判斷平行 ④ 答無解	無解（兩線平行）

合理性檢查（一定要教）：三重檢查。第一重代回：把 (x, y) 代進原本兩條方程都要成立，只代一條等於只驗一半。第二重倍數：消元時乘了幾倍，右邊常數要一齊乘，漏乘常數是最常見的算術錯。第三重數目：兩條直線最多一個交點，如果解到兩對答案，通常代表兩條方程其實是同一條，或者中途除錯。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
解 y = 2x、x + y = 9。	x = 3、y = 6	有無代回驗算
解 3x + 2y = 12、5x − 3y = 1。	x = 2、y = 3	兩條式有無乘不同倍數、常數有無一齊乘
2 個成人加 3 個小童共 340 元，1 個成人加 2 個小童共 195 元，求成人票價。	成人 95 元、小童 50 元	有無設兩個未知數並列兩條方程

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
計到 x 就收手	x = 4，所以答案是 4。	「聯立方程的答案是一對數字。計到 x 要代回求 y，最後寫 x = 4、y = 2，並用另一條式驗。」
只乘左邊	第一式乘 3：9x + 6y = 12。	「整條方程都要乘，右邊 12 要變 36。乘倍數是等式兩邊同時做同一件事。」
兩式乘同一個倍數	想消 y，兩條式都乘 3。	「兩條式乘同一個數，係數比例不變，永遠消唔到。要令 y 的係數一正一負或完全相同，才可以加減。」
無解寫成 x = 0	兩線平行，所以 x = 0。	「平行代表永遠無交點，任何一對數字都不成立，答案是無解。x = 0 是一個具體的點，兩者完全不同。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

一次方程應用題（第 1–4 題）　單未知數應用題先熟，再加入第二個未知數
直線方程（第 3–6 題）　用斜率與截距判斷解的數目，同出一源
中學數學索引（挑 2 份方程卷計時）　20 分鐘計時，每題都要寫齊 x 與 y

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
x + y = 7、x − y = 1 的解是？	x = 4、y = 3	只答 x 不算過關
兩線斜率相同、截距不同，有幾個解？	無解	答無解並講平行＝過關
消元乘倍數時，右邊常數要怎樣？	一齊乘同一個倍數	漏乘代表等式觀念未清

09　導師常問

代入法與消元法要都教嗎？

要。題目常常「其中一條已經寫成 y = …」，那時代入法最快；兩條都是一般式就消元較省時。只教一種，學生遇到另一種格式就會卡住。

解的數目要不要畫圖？

整理成 y = mx + c 直接比較 m 與 c 最快，畫圖只作輔助。考試時間有限，先講斜率與截距，再叫學生用草稿畫一畫確認。

應用題怎樣設未知數？

先問「題目有幾樣未知的量」，兩樣就設兩個字母，然後把每個句子譯成一條方程。兩句話就是兩條方程，這是最可靠的檢查。

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