IB 数学 AA SL Paper 1 模拟试卷（1 小时 30 分・80 分・不用计算机）

2026-10-29

模拟试卷 · IB DP · 数学：分析与方法 SL · Paper 1

Paper 1 不许使用计算机，所以答案多以准确值（分数、根式、π 的倍数、对数）表示；本卷 10 题、80 分，Section A 八题短题、Section B 两题长题，评分要点按 IB 的 M（方法）／A（答案）／R（推理）标示。

IB 数学 AA SL Paper 1 模拟试卷：90 分钟、80 分、不用计算机。10 题涵盖等差数列、配方法与根式、对数方程、三角方程、微分与驻点、二项式定理、立体向量、概率、逻辑斯蒂模型与余弦定理，附完整 M／A／R 评分要点。

卷面资料　年级：IB DP（SL 第一年／第二年）　｜　科目：数学：分析与方法 SL　｜　时限：90 分钟　｜　总分：80 分（不用计算机）

卷制与分数分布

部分	题目	题数	分数	内容
Section A	第 1–8 题（短题，每题 5–8 分）	8	52	数列、二次函数、对数、三角、微分、二项式、向量、概率
Section B	第 9–10 题（长题，每题 14 分）	2	28	逻辑斯蒂模型与微分应用、余弦定理与三角形解题
全卷总分	全卷 10 题	10	80	以上全部内容

Section A 题目（短题，不用计算机）

第 1 题　等差数列（5 分）

等差数列的第 4 项为 11，首 10 项之和为 155。

(a)　求首项 a 与公差 d。　（3 分）

(b)　求 S₂₀。　（2 分）

第 2 题　二次函数的配方法（6 分）

函数 f(x) = 2x² − 8x + 3。

(a)　把 f(x) 写成 a(x − h)² + k 的形式。　（3 分）

(b)　写出 y = f(x) 图像的顶点坐标。　（1 分）

(c)　解 f(x) = 0，答案用根式表示。　（2 分）

第 3 题　对数方程（6 分）

以下两题的答案均为准确值。

(a)　解 log₃(2x + 1) − log₃(x − 1) = 2。　（4 分）

(b)　解 log₂x + log₂(x − 6) = 4。　（2 分）

第 4 题　三角方程（6 分）

考虑方程 2 sin²θ − sinθ − 1 = 0，其中 0 ≤ θ ≤ 2π。

(a)　把方程分解，并求 sinθ 的所有可能值。　（3 分）

(b)　由此求方程在 0 ≤ θ ≤ 2π 内的所有解，答案以 π 表示。　（3 分）

第 5 题　微分与驻点（7 分）

函数 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2。

(a)　求 f′(x)，并分解为 f′(x) = 3(x − p)(x − q) 的形式。　（2 分）

(b)　求 y = f(x) 所有驻点的坐标。　（3 分）

(c)　判断这两个驻点的性质，须说明理由。　（2 分）

第 6 题　二项式定理（8 分）

在 (2 + 3x)⁵ 的展开式中。

(a)　求 x³ 项的系数。　（3 分）

(b)　求 x⁵ 项的系数。　（1 分）

(c)　求 x² 项的系数。　（2 分）

(d)　由此求展开式所有系数之和。　（2 分）

第 7 题　立体向量（6 分）

已知向量 a = 3i − j + 2k、b = −i + 4j + k。

(a)　求 a · b。　（2 分）

(b)　求 |a| 与 |b| 的准确值（根式须化简）。　（2 分）

(c)　求常数 k，使得 a + kb 与 a 互相垂直。　（2 分）

第 8 题　概率（不放回抽样）（8 分）

袋中有 5 个红球与 3 个蓝球，共 8 个。随机抽出 2 个球，不放回。

(a)　求两个球皆为红球的概率。　（2 分）

(b)　求两个球的颜色不同的概率。　（3 分）

(c)　求至少有一个红球的概率。　（3 分）

Section B 题目（长题）

第 9 题（14 分）　逻辑斯蒂生长模型

池塘内鱼的数目 N 在 t 个月后以模型 N(t) = 600／(1 + 5e^−0.4t) 估计，其中 t ≥ 0。

(a)　求起初（t = 0）放入池塘的鱼数。　（2 分）

(b)　求 t 趋向无限时鱼数的极限值，并解释之。　（2 分）

(c)　求鱼数达到 300 条所需的时间，答案以 ln 表示，并取三位有效数字。　（4 分）

(d)　证明 N′(t) = 1200e^−0.4t／(1 + 5e^−0.4t)²，并求 t = 0 时的增长率。　（4 分）

(e)　证明 N′ = N(600 − N)／1500，并由此解释为何增长率在鱼数为 300 条时最大。　（2 分）

第 10 题（14 分）　余弦定理与三角形

在三角形 ABC 中，AB = 8 cm、AC = 5 cm，且角 BAC = 60°。（本题不许用计算机，答案须为准确值。）

(a)　求 BC 的长度。　（3 分）

(b)　求三角形 ABC 的面积，答案用根式表示。　（3 分）

(c)　求 sin(角 ABC) 的准确值，并由此求角 ABC（取一位小数）。　（3 分）

(d)　设 M 为 BC 的中点，求中线 AM 的准确长度。　（3 分）

(e)　求 A 到 BC 的最短距离。　（2 分）

答案与评分要点

第 1 题（5 分）

(a)　3 分

•　M1 写出 u₄ = a + 3d = 11 及 S₁₀ = 5(2a + 9d) = 155 两式

•　M1 由 a = 11 − 3d 代入得 22 − 6d + 9d = 31，解得 d = 3

•　A1 d = 3、a = 2（两者须同时正确）

(b)　2 分

•　M1 代入 S₂₀ = 10(2 × 2 + 19 × 3)

•　A1 610

第 2 题（6 分）

(a)　3 分

•　M1 提出系数：2(x² − 4x) + 3

•　M1 配方：2[(x − 2)² − 4] + 3

•　A1 f(x) = 2(x − 2)² − 5

(b)　1 分

•　A1 (2, −5)

•　M1 由 2(x − 2)² = 5 得 x − 2 = ±√(5/2) = ±√10／2

•　A1 x = 2 + √10／2 或 x = 2 − √10／2（≈ 3.581、0.419）

第 3 题（6 分）

(a)　4 分

•　M1 合并为 log₃[(2x + 1)／(x − 1)] = 2

•　M1 化为指数式 (2x + 1)／(x − 1) = 9

•　M1 交叉相乘得 2x + 1 = 9x − 9，即 7x = 10

•　A1 x = 10／7（≈ 1.43），且代回 x − 1 > 0 成立

(b)　2 分

•　M1 x(x − 6) = 16，即 x² − 6x − 16 = 0 = (x − 8)(x + 2)

•　A1 x = 8（x = −2 不合定义域，须剔除）

第 4 题（6 分）

(a)　3 分

•　M1 视 sinθ 为未知数分解：(2 sinθ + 1)(sinθ − 1) = 0

•　A1 sinθ = −1／2

•　A1 sinθ = 1

(b)　3 分

•　M1 由 sinθ = 1 得 θ = π／2

•　M1 由 sinθ = −1／2 得第三、四象限参考角 π／6，即 θ = π + π／6 与 2π − π／6

•　A1 θ = π／2、7π／6、11π／6（三个解齐全才算）

第 5 题（7 分）

(a)　2 分

•　M1 逐项求导得 3x² − 12x + 9

•　A1 f′(x) = 3(x − 1)(x − 3)

(b)　3 分

•　M1 令 f′(x) = 0 得 x = 1 或 x = 3

•　A1 f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6，即驻点 (1, 6)

•　A1 f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2，即驻点 (3, 2)

•　M1 用二阶导数 f″(x) = 6x − 12（或一阶导数符号表）判别

•　A1 f″(1) = −6 < 0 故 (1, 6) 为极大点；f″(3) = 6 > 0 故 (3, 2) 为极小点

第 6 题（8 分）

(a)　3 分

•　M1 用通项 C(5, r) 2^5−r (3x)^r，取 r = 3

•　M1 计算 10 × 2² × 3³ = 10 × 4 × 27

•　A1 1080

(b)　1 分

•　A1 3⁵ = 243

•　M1 取 r = 2：C(5, 2) 2³ 3² = 10 × 8 × 9

•　A1 720

(d)　2 分

•　M1 令 x = 1，系数和等于 (2 + 3)⁵

•　A1 5⁵ = 3125

第 7 题（6 分）

(a)　2 分

•　M1 3(−1) + (−1)(4) + 2(1)

•　A1 −5

(b)　2 分

•　|a| = √(9 + 1 + 4) = √14

•　|b| = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2

•　M1 垂直条件 (a + kb) · a = |a|² + k(a · b) = 14 − 5k = 0

•　A1 k = 14／5 = 2.8

第 8 题（8 分）

(a)　2 分

•　M1 C(5, 2)／C(8, 2) = 10／28

•　A1 5／14

(b)　3 分

•　M1 考虑“先红后蓝”与“先蓝后红”两种次序，共 5 × 3 × 2 = 30 个有序结果

•　M1 样本空间有 8 × 7 = 56 个有序结果，故概率为 30／56

•　A1 15／28（≈ 0.536）

•　M1 用补集：P(至少一个红) = 1 − P(两个皆蓝)

•　M1 P(两个皆蓝) = C(3, 2)／C(8, 2) = 3／28

•　A1 25／28（≈ 0.893）

第 9 题（14 分）

(a)　2 分

•　M1 代入 t = 0，e⁰ = 1，分母为 1 + 5 = 6

•　A1 N(0) = 600／6 = 100 条

(b)　2 分

•　M1 当 t → ∞，e^−0.4t → 0，故分母 → 1

•　A1 极限为 600 条，即池塘长期可容纳的鱼数上限

•　M1 令 600／(1 + 5e^−0.4t) = 300，得 1 + 5e^−0.4t = 2

•　M1 化简为 e^−0.4t = 1／5

•　M1 两边取自然对数：−0.4t = −ln 5，故 t = ln 5／0.4 = 2.5 ln 5

•　A1 t = 2.5 ln 5 ≈ 4.02 个月（三位有效数字）

(d)　4 分

•　M1 写成 N = 600(1 + 5e^−0.4t)⁻¹，用链式法则

•　M1 内层导数为 5 × (−0.4)e^−0.4t = −2e^−0.4t，故 N′ = −600(1 + 5e^−0.4t)⁻² × (−2e^−0.4t)

•　R1 化简得 N′(t) = 1200e^−0.4t／(1 + 5e^−0.4t)²，与题目一致

•　A1 N′(0) = 1200／36 = 100／3 ≈ 33.3 条／月

(e)　2 分

•　R1 由 N = 600／(1 + 5e^−0.4t) 得 e^−0.4t = (600 − N)／(5N)，代入 N′ 化简得 N′ = N(600 − N)／1500

•　R1 这是 N 的二次函数，图像为开口向下的抛物线，顶点在 N = 300（即 t = 2.5 ln 5 ≈ 4.02），此时 N′ = 300 × 300／1500 = 60 条／月最大

第 10 题（14 分）

(a)　3 分

•　M1 用余弦定理 BC² = 8² + 5² − 2(8)(5)cos 60°

•　M1 cos 60° = 1／2，故 BC² = 64 + 25 − 40 = 49

•　A1 BC = 7 cm

(b)　3 分

•　M1 面积 = (1／2)(8)(5)sin 60°

•　M1 sin 60° = √3／2，故面积 = 20 × √3／2

•　A1 10√3 cm²（≈ 17.3 cm²）

•　M1 用正弦定理 sin B／5 = sin 60°／7

•　A1 sin B = 5√3／14（≈ 0.6186）

•　A1 角 ABC ≈ 38.2°（因 B 为锐角，取 38.2° 而非 141.8°）

(d)　3 分

•　M1 用中线公式 AM² = (2AB² + 2AC² − BC²)／4

•　M1 代入得 (2 × 64 + 2 × 25 − 49)／4 = 129／4

•　A1 AM = √129／2 cm（≈ 5.68 cm）

(e)　2 分

•　M1 最短距离 h 满足 (1／2)(BC)h = 面积，故 h = 2 × 10√3／7

•　A1 20√3／7 cm（≈ 4.95 cm）

等级参考（本卷 80 分，本卷自订）

等级	分数	描述
7	68–80	全题型掌握，方法与准确值均无误，推理完整。
6	59–67	大部分题目正确，仅在根式化简或单位上失分。
5	50–58	短题稳定，长题的建模或证明部分有缺漏。
4	39–49	基本运算可行，但配方法、对数或三角方程有明显错误。
3	28–38	只完成部分短题，长题未能建立方法。
1–2	0–27	须重温课本题型，并练习不依赖计算机的运算。

时间分配建议（全卷 90 分钟）

阶段	分钟
Section A 第 1–3 题（数列、二次函数、对数）	10
Section A 第 4–5 题（三角方程、微分）	15
Section A 第 6–8 题（二项式、向量、概率）	15
Section B 第 9 题（逻辑斯蒂模型）	12
Section B 第 10 题（余弦定理与三角形）	12
复核：每题的准确值与单位，特别是根式化简	26

注意事项

•　全卷 90 分钟，总分 80 分；Section A 为短题，Section B 为长题。

•　不许使用计算机（Paper 1 为 no-calculator paper），答案须以准确值表示：分数、已化简的根式、π 的倍数或自然对数。

•　除非题目另有指明，所有答案须写出理由；只写答案而无方法者，方法分（M）不给。

•　评分要点中 M 为方法分、A 为答案分、R 为推理分；A 分须在前一步 M 分成立时才给。

•　根式须化简（例如 √252 写成 6√7），角度用弧度表示时须见 π。

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题目全部原创，并非 IB 历届试题；等级分界为本卷自订，不代表 IB 官方分界（IB 的等级以 Paper 1、Paper 2 与 Internal Assessment 合计计算）。