DSE 數學 卷一模擬試題（2027 年考期）：105 分完整試卷＋逐題答案與評分要點

第 1 題

3/4 − 5/6 = 9/12 − 10/12 = −1/12（2 分）；−1/12 ÷ 1/12 = −1（1 分）。通分時分子分母同時乘，是最常見的失分；先把兩分數化為同分母，再做除法。

第 2 題

(2x³y)² = 4x⁶y²（1 分）；4x⁶y² ÷ 4xy² = x⁵（2 分）。指數相乘：(x³)² = x⁶，不是 x⁹。

第 3 題

找兩數：積 = 6 × (−20) = −120、和 = 7 → 15 與 −8（2 分）；6x² + 15x − 8x − 20 = 3x(2x + 5) − 4(2x + 5)（1 分）= (2x + 5)(3x − 4)（1 分）。

第 4 題

3x − 6 = 2x + 2（2 分）；3x − 2x = 2 + 6（1 分）；x = 8（1 分）。

第 5 題

240 × 1.15 = 276（2 分）；276 × 0.85 = $234.6（2 分）。加價與減價的百分數基數不同，所以不會回到 $240。

第 6 題

外角 = 360° ÷ 12 = 30°（2 分）；內角 = 180° − 30° = 150°（2 分）。

第 7 題

sin θ = 7/12（1 分）；θ ≈ 35.7°（2 分）；鄰邊 = √(12² − 7²) = √95 ≈ 9.7 cm（1 分）。

第 8 題

平均 = 90 ÷ 6 = 15（2 分）；排序後（11, 12, 15, 15, 18, 19）中位數 = (15 + 15) ÷ 2 = 15（1 分）；眾數 = 15（1 分）。

第 9 題

面積 = 150/360 × π × 6²（2 分）= 15π（1 分）≈ 47.1 cm²（2 分）。

第 1 題

由 x − y = 1 得 x = y + 1（1 分）；代入：2(y + 1) + 3y = 12（2 分）；5y = 10 → y = 2（2 分）；x = 3、y = 2（1 分）。

第 2 題

(a) x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0 → (5, 0) 與 (−1, 0)（3 分）；(b) 對稱軸 x = 2，y = 4 − 8 − 5 = −9 → (2, −9)（2 分）；(c) x² − 4x − 12 = 0 → (x − 6)(x + 2) = 0 → x = 6 或 x = −2（2 分）。

第 3 題

(a) T₆ = 3 × 2⁵ = 96（3 分）；(b) S₆ = 3(2⁶ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 63 = 189（4 分）。

第 4 題

(a) 斜率 = (10 − 2) ÷ (5 − 1) = 2（2 分）；y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x（2 分）；(b) 2x = x + 6 → x = 6，y = 12 → (6, 12)（3 分）。

第 5 題

(a) 5/12（2 分）；(b) 5/12 × 7/11 = 35/132（3 分）；(c) 1 − P(兩次皆藍) = 1 − 7/12 × 6/11 = 1 − 42/132 = 15/22（3 分）。不放回：第二次的分母必須改為 11。

第 1 題

(a) (x − 3)² + (y + 4)² = 3² + 4² + 11 = 36 → 圓心 (3, −4)、半徑 6（4 分）；(b) 令 y = 0：x² − 6x − 11 = 0 → x = 3 ± 2√5 ≈ 7.47 與 −1.47（3 分）；距離 = 4√5 ≈ 8.94（1 分）。

第 2 題

27 = 3³（2 分）；3^(2x + 1) = 3^(3x − 3)（2 分）；2x + 1 = 3x − 3（3 分）；x = 4（2 分）。必須先化為同底，否則不能直接比較指數。

第 3 題

(a) (x − 3)(x + 2) ≤ 0 → −2 ≤ x ≤ 3（4 分）；(b) 設長 x cm，則闊 (20 − x) cm，面積 = x(20 − x) = −(x − 10)² + 100（3 分）→ 最大面積 100 cm²（2 分）。

第 4 題

設塔高 h、A 到塔底距離 d：tan 30° = h/d、tan 60° = h/(d − 40)（3 分）；即 h cot 30° − h cot 60° = 40（2 分）；h(√3 − √3/3) = 40 → h(2√3/3) = 40（2 分）；h = 20√3 ≈ 34.6 m（2 分）。