IB 數學 AA SL Paper 1 模擬試卷（1 小時 30 分・80 分・不用計算機）

2026-10-29

模擬試卷 · IB DP · 數學：分析與方法 SL · Paper 1

Paper 1 不許使用計算機，所以答案多以準確值（分數、根式、π 的倍數、對數）表示；本卷 10 題、80 分，Section A 八題短題、Section B 兩題長題，評分要點按 IB 的 M（方法）／A（答案）／R（推理）標示。

IB 數學 AA SL Paper 1 模擬試卷：90 分鐘、80 分、不用計算機。10 題涵蓋等差數列、配方法與根式、對數方程、三角方程、微分與駐點、二項式定理、立體向量、概率、邏輯斯蒂模型與餘弦定理，附完整 M／A／R 評分要點。

卷面資料　年級：IB DP（SL 第一年／第二年）　｜　科目：數學：分析與方法 SL　｜　時限：90 分鐘　｜　總分：80 分（不用計算機）

卷制與分數分佈

部分	題目	題數	分數	內容
Section A	第 1–8 題（短題，每題 5–8 分）	8	52	數列、二次函數、對數、三角、微分、二項式、向量、概率
Section B	第 9–10 題（長題，每題 14 分）	2	28	邏輯斯蒂模型與微分應用、餘弦定理與三角形解題
全卷總分	全卷 10 題	10	80	以上全部內容

Section A 題目（短題，不用計算機）

第 1 題　等差數列（5 分）

等差數列的第 4 項為 11，首 10 項之和為 155。

(a)　求首項 a 與公差 d。　（3 分）

(b)　求 S₂₀。　（2 分）

第 2 題　二次函數的配方法（6 分）

函數 f(x) = 2x² − 8x + 3。

(a)　把 f(x) 寫成 a(x − h)² + k 的形式。　（3 分）

(b)　寫出 y = f(x) 圖像的頂點坐標。　（1 分）

(c)　解 f(x) = 0，答案用根式表示。　（2 分）

第 3 題　對數方程（6 分）

以下兩題的答案均為準確值。

(a)　解 log₃(2x + 1) − log₃(x − 1) = 2。　（4 分）

(b)　解 log₂x + log₂(x − 6) = 4。　（2 分）

第 4 題　三角方程（6 分）

考慮方程 2 sin²θ − sinθ − 1 = 0，其中 0 ≤ θ ≤ 2π。

(a)　把方程分解，並求 sinθ 的所有可能值。　（3 分）

(b)　由此求方程在 0 ≤ θ ≤ 2π 內的所有解，答案以 π 表示。　（3 分）

第 5 題　微分與駐點（7 分）

函數 f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2。

(a)　求 f′(x)，並分解為 f′(x) = 3(x − p)(x − q) 的形式。　（2 分）

(b)　求 y = f(x) 所有駐點的坐標。　（3 分）

(c)　判斷這兩個駐點的性質，須說明理由。　（2 分）

第 6 題　二項式定理（8 分）

在 (2 + 3x)⁵ 的展開式中。

(a)　求 x³ 項的係數。　（3 分）

(b)　求 x⁵ 項的係數。　（1 分）

(c)　求 x² 項的係數。　（2 分）

(d)　由此求展開式所有係數之和。　（2 分）

第 7 題　立體向量（6 分）

已知向量 a = 3i − j + 2k、b = −i + 4j + k。

(a)　求 a · b。　（2 分）

(b)　求 |a| 與 |b| 的準確值（根式須化簡）。　（2 分）

(c)　求常數 k，使得 a + kb 與 a 互相垂直。　（2 分）

第 8 題　概率（不放回抽樣）（8 分）

袋中有 5 個紅球與 3 個藍球，共 8 個。隨機抽出 2 個球，不放回。

(a)　求兩個球皆為紅球的概率。　（2 分）

(b)　求兩個球的顏色不同的概率。　（3 分）

(c)　求至少有一個紅球的概率。　（3 分）

Section B 題目（長題）

第 9 題（14 分）　邏輯斯蒂生長模型

池塘內魚的數目 N 在 t 個月後以模型 N(t) = 600／(1 + 5e^−0.4t) 估計，其中 t ≥ 0。

(a)　求起初（t = 0）放入池塘的魚數。　（2 分）

(b)　求 t 趨向無限時魚數的極限值，並解釋之。　（2 分）

(c)　求魚數達到 300 條所需的時間，答案以 ln 表示，並取三位有效數字。　（4 分）

(d)　證明 N′(t) = 1200e^−0.4t／(1 + 5e^−0.4t)²，並求 t = 0 時的增長率。　（4 分）

(e)　證明 N′ = N(600 − N)／1500，並由此解釋為何增長率在魚數為 300 條時最大。　（2 分）

第 10 題（14 分）　餘弦定理與三角形

在三角形 ABC 中，AB = 8 cm、AC = 5 cm，且角 BAC = 60°。（本題不許用計算機，答案須為準確值。）

(a)　求 BC 的長度。　（3 分）

(b)　求三角形 ABC 的面積，答案用根式表示。　（3 分）

(c)　求 sin(角 ABC) 的準確值，並由此求角 ABC（取一位小數）。　（3 分）

(d)　設 M 為 BC 的中點，求中線 AM 的準確長度。　（3 分）

(e)　求 A 到 BC 的最短距離。　（2 分）

答案與評分要點

第 1 題（5 分）

(a)　3 分

•　M1 寫出 u₄ = a + 3d = 11 及 S₁₀ = 5(2a + 9d) = 155 兩式

•　M1 由 a = 11 − 3d 代入得 22 − 6d + 9d = 31，解得 d = 3

•　A1 d = 3、a = 2（兩者須同時正確）

(b)　2 分

•　M1 代入 S₂₀ = 10(2 × 2 + 19 × 3)

•　A1 610

第 2 題（6 分）

(a)　3 分

•　M1 提出係數：2(x² − 4x) + 3

•　M1 配方：2[(x − 2)² − 4] + 3

•　A1 f(x) = 2(x − 2)² − 5

(b)　1 分

•　A1 (2, −5)

•　M1 由 2(x − 2)² = 5 得 x − 2 = ±√(5/2) = ±√10／2

•　A1 x = 2 + √10／2 或 x = 2 − √10／2（≈ 3.581、0.419）

第 3 題（6 分）

(a)　4 分

•　M1 合併為 log₃[(2x + 1)／(x − 1)] = 2

•　M1 化為指數式 (2x + 1)／(x − 1) = 9

•　M1 交叉相乘得 2x + 1 = 9x − 9，即 7x = 10

•　A1 x = 10／7（≈ 1.43），且代回 x − 1 > 0 成立

(b)　2 分

•　M1 x(x − 6) = 16，即 x² − 6x − 16 = 0 = (x − 8)(x + 2)

•　A1 x = 8（x = −2 不合定義域，須剔除）

第 4 題（6 分）

(a)　3 分

•　M1 視 sinθ 為未知數分解：(2 sinθ + 1)(sinθ − 1) = 0

•　A1 sinθ = −1／2

•　A1 sinθ = 1

(b)　3 分

•　M1 由 sinθ = 1 得 θ = π／2

•　M1 由 sinθ = −1／2 得第三、四象限參考角 π／6，即 θ = π + π／6 與 2π − π／6

•　A1 θ = π／2、7π／6、11π／6（三個解齊全才算）

第 5 題（7 分）

(a)　2 分

•　M1 逐項求導得 3x² − 12x + 9

•　A1 f′(x) = 3(x − 1)(x − 3)

(b)　3 分

•　M1 令 f′(x) = 0 得 x = 1 或 x = 3

•　A1 f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6，即駐點 (1, 6)

•　A1 f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2，即駐點 (3, 2)

•　M1 用二階導數 f″(x) = 6x − 12（或一階導數符號表）判別

•　A1 f″(1) = −6 < 0 故 (1, 6) 為極大點；f″(3) = 6 > 0 故 (3, 2) 為極小點

第 6 題（8 分）

(a)　3 分

•　M1 用通項 C(5, r) 2^5−r (3x)^r，取 r = 3

•　M1 計算 10 × 2² × 3³ = 10 × 4 × 27

•　A1 1080

(b)　1 分

•　A1 3⁵ = 243

•　M1 取 r = 2：C(5, 2) 2³ 3² = 10 × 8 × 9

•　A1 720

(d)　2 分

•　M1 令 x = 1，係數和等於 (2 + 3)⁵

•　A1 5⁵ = 3125

第 7 題（6 分）

(a)　2 分

•　M1 3(−1) + (−1)(4) + 2(1)

•　A1 −5

(b)　2 分

•　|a| = √(9 + 1 + 4) = √14

•　|b| = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2

•　M1 垂直條件 (a + kb) · a = |a|² + k(a · b) = 14 − 5k = 0

•　A1 k = 14／5 = 2.8

第 8 題（8 分）

(a)　2 分

•　M1 C(5, 2)／C(8, 2) = 10／28

•　A1 5／14

(b)　3 分

•　M1 考慮「先紅後藍」與「先藍後紅」兩種次序，共 5 × 3 × 2 = 30 個有序結果

•　M1 樣本空間有 8 × 7 = 56 個有序結果，故概率為 30／56

•　A1 15／28（≈ 0.536）

•　M1 用補集：P(至少一個紅) = 1 − P(兩個皆藍)

•　M1 P(兩個皆藍) = C(3, 2)／C(8, 2) = 3／28

•　A1 25／28（≈ 0.893）

第 9 題（14 分）

(a)　2 分

•　M1 代入 t = 0，e⁰ = 1，分母為 1 + 5 = 6

•　A1 N(0) = 600／6 = 100 條

(b)　2 分

•　M1 當 t → ∞，e^−0.4t → 0，故分母 → 1

•　A1 極限為 600 條，即池塘長期可容納的魚數上限

•　M1 令 600／(1 + 5e^−0.4t) = 300，得 1 + 5e^−0.4t = 2

•　M1 化簡為 e^−0.4t = 1／5

•　M1 兩邊取自然對數：−0.4t = −ln 5，故 t = ln 5／0.4 = 2.5 ln 5

•　A1 t = 2.5 ln 5 ≈ 4.02 個月（三位有效數字）

(d)　4 分

•　M1 寫成 N = 600(1 + 5e^−0.4t)⁻¹，用鏈式法則

•　M1 內層導數為 5 × (−0.4)e^−0.4t = −2e^−0.4t，故 N′ = −600(1 + 5e^−0.4t)⁻² × (−2e^−0.4t)

•　R1 化簡得 N′(t) = 1200e^−0.4t／(1 + 5e^−0.4t)²，與題目一致

•　A1 N′(0) = 1200／36 = 100／3 ≈ 33.3 條／月

(e)　2 分

•　R1 由 N = 600／(1 + 5e^−0.4t) 得 e^−0.4t = (600 − N)／(5N)，代入 N′ 化簡得 N′ = N(600 − N)／1500

•　R1 這是 N 的二次函數，圖像為開口向下的拋物線，頂點在 N = 300（即 t = 2.5 ln 5 ≈ 4.02），此時 N′ = 300 × 300／1500 = 60 條／月最大

第 10 題（14 分）

(a)　3 分

•　M1 用餘弦定理 BC² = 8² + 5² − 2(8)(5)cos 60°

•　M1 cos 60° = 1／2，故 BC² = 64 + 25 − 40 = 49

•　A1 BC = 7 cm

(b)　3 分

•　M1 面積 = (1／2)(8)(5)sin 60°

•　M1 sin 60° = √3／2，故面積 = 20 × √3／2

•　A1 10√3 cm²（≈ 17.3 cm²）

•　M1 用正弦定理 sin B／5 = sin 60°／7

•　A1 sin B = 5√3／14（≈ 0.6186）

•　A1 角 ABC ≈ 38.2°（因 B 為銳角，取 38.2° 而非 141.8°）

(d)　3 分

•　M1 用中線公式 AM² = (2AB² + 2AC² − BC²)／4

•　M1 代入得 (2 × 64 + 2 × 25 − 49)／4 = 129／4

•　A1 AM = √129／2 cm（≈ 5.68 cm）

(e)　2 分

•　M1 最短距離 h 滿足 (1／2)(BC)h = 面積，故 h = 2 × 10√3／7

•　A1 20√3／7 cm（≈ 4.95 cm）

等級參考（本卷 80 分，本卷自訂）

等級	分數	描述
7	68–80	全題型掌握，方法與準確值均無誤，推理完整。
6	59–67	大部分題目正確，僅在根式化簡或單位上失分。
5	50–58	短題穩定，長題的建模或證明部分有缺漏。
4	39–49	基本運算可行，但配方法、對數或三角方程有明顯錯誤。
3	28–38	只完成部分短題，長題未能建立方法。
1–2	0–27	須重溫課本題型，並練習不依賴計算機的運算。

時間分配建議（全卷 90 分鐘）

階段	分鐘
Section A 第 1–3 題（數列、二次函數、對數）	10
Section A 第 4–5 題（三角方程、微分）	15
Section A 第 6–8 題（二項式、向量、概率）	15
Section B 第 9 題（邏輯斯蒂模型）	12
Section B 第 10 題（餘弦定理與三角形）	12
覆核：每題的準確值與單位，特別是根式化簡	26

注意事項

•　全卷 90 分鐘，總分 80 分；Section A 為短題，Section B 為長題。

•　不許使用計算機（Paper 1 為 no-calculator paper），答案須以準確值表示：分數、已化簡的根式、π 的倍數或自然對數。

•　除非題目另有指明，所有答案須寫出理由；只寫答案而無方法者，方法分（M）不給。

•　評分要點中 M 為方法分、A 為答案分、R 為推理分；A 分須在前一步 M 分成立時才給。

•　根式須化簡（例如 √252 寫成 6√7），角度用弧度表示時須見 π。

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題目全部原創，並非 IB 歷屆試題；等級分界為本卷自訂，不代表 IB 官方分界（IB 的等級以 Paper 1、Paper 2 與 Internal Assessment 合計計算）。